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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 20

Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-24

20. ∑ n = 2 ∞ - 2 n ( n + 1 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos a decomposição da fração parcial de uma fração racional no argumento da série

- 2 n n + 1 = A n + B n + 1

Desenvolvendo os termos

- 2 n n + 1 = n A + B + A n n + 1

Esta decomposição fornece o sistema de equação linear

A + B = 0 A = - 2 → A = - 2 B = - A = 2

Portanto,

- 2 n n + 1 = - 2 n + 2 n + 1

Colocando o - 2 em evidência

- 2 n n + 1 = - 2 1 n - 1 n + 1

Passo 2

Vamos considerar que a n = 1 n , então, a série pode ser reescrita como

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 2 ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 n + 1

Com isso, nós temos que

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 2 ∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1

É possível notar que a série

∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1

É uma série ``telescópica''. A soma desta série é

∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1 = a 2 - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1

Com isso, nós temos que

∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1 = 1 2 - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 1 2

Portanto,

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 2 1 2 = - 1

Resposta

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 1

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