Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

35. ∑ n = 1 ∞ n + 1 n !

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos usar o teste da razão para esse problema, supondo que nós temos uma série ∑ a n . Agora considerando que o limite é igual a

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Se L < 1 , a série é divergente, se L = 1 , o teste não é usável, então para esse caso é melhor tentar outro teste.

Passo 2

No problema dado, nós temos que

a n = n + 1 n !   e   a n + 1 = n + 2 n + 1 !

Com isso, nós temos que

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 ! n + 1 n !

Desenvolvendo os termos, nós temos que

L = lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 ! × n ! n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 n ! × n ! n + 1

Um pouco mais (sim, cabe sim o meme dos 300 aqui rsrs!)

L = lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 1 2 + 1 n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 + 1 n + 1 2

Com isso, nós temos que

L = 1 ∞ + 1 ∞ = 0 < 1

Portanto, a série dada converge absolutamente pelo Teste da Razão.

Resposta

Converge absolutamente!

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