Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 14
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
14.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, vamos simplificar a notação do enésimo termo da sequência :
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .
Passo 2
Para poder concluir o que acontece com o numerador de um quando se aproxima do infinito, vamos lembrar de um limite especial:
No nosso caso, temos que , então, quando se aproxima do infinito, então o numerador de fica
Para poder concluir o que acontece com o denominador de quando se aproxima do infinito, vamos nos lembrar de um limite especial:
Portanto, concluímos que o denominador de tende a quando se aproxima do infinito.
Passo 3
Para determinar se a sequência converge ou diverge, aplicaremos a regra do quociente para limite. A regra do quociente para o limite afirma que, se houver limites
Portanto, nós temos que
Como os limites do numerador e do denominador são números finitos, podemos aplicar a regra do quociente para limite ao limite
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.