Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 20

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

20.

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a e a e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

Derivando em relação a :

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

Sendo assim, podemos concluir que o ponto crítico da função é .

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico se trata de um ponto de máximo ou ponto de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função que temos, tudo bem? As derivadas serão:

Para :

Para as derivadas mistas:

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

Sendo assim, temos que nosso determinante deu um resultado positivo, vamos guardar isso! O que devemos fazer agora é ver o sinal da derivada parcial no ponto , tudo bem? Substituindo, teremos:

Sendo assim, temos que nossa derivada resultou em um valor positivo também. Pelas proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que quando o determinante e a derivada parcial, ambos calculados no ponto crítico, resultam em valores positivos, então isso implica que o ponto crítico em questão é um mínimo! Dessa forma, temos que: