Enunciado

Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.

37-

r = s e n   θ ,         r = cos ⁡ θ

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Pronto para resolver essa atividade comigo?

A gente aqui vai encontrar todos os pontos de interseção das curvas:

r = s e n   θ ,         r = cos ⁡ θ

E para isso, a gente precisa igualar as equações delas, precisamos encontrar os valores de θ em que elas se encontram, e após isso, iremos substituir esses valores de θ em qualquer uma das equações, e assim a gente tem os valores de r onde esses encontros ocorrem.

Uma outra coisa que devemos fazer é procurar se elas se encontram na origem. Para isso, deveremos igualar as equações a zero, caso ambas possuam valores de θ para essa condição, quer dizer que elas se encontram na origem.

Passo 2

Primeiramente vamos igualar os r das duas equações:

s e n   θ = cos ⁡ θ

Dividindo por cosseno as duas equações nós teremos:

tan ⁡ θ = 1

E teremos essa equação como verdadeira em apenas dois pontos:

θ = π 4 ;     θ = 5 π 4

E esse valore terão valores de r iguais a:

r = s e n π 4 = 2 2

r = s e n π 4 = - 2 2

Vamos fazer uma tabela com os ângulos de θ mais conhecidos e comparar.

E vamos passar essas coordenadas polares para cartesianas:

x = r cos ⁡ θ

Para r = sin ⁡ θ

x = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

E para r = cos ⁡ θ

x = cos 2 ⁡ θ

Logo x para r = cos ⁡ θ nunca poderá assumir valores negativos.

O mesmo raciocínio é válido para a coordenada cartesiana y

y = r   s e n   θ

Onde para r = s e n   θ teremos y = s e n 2 θ   logo y nunca será negativo para essa função.

O que nos diz então que não poderemos ter θ = 5 π 4 como interseção.

Com isso temos nosso ponto polar igual a:

r , θ = 2 2 , π 4

Passo 3

Outra posição de encontro das duas funções é que elas começam na origem com r = 0 , porém ambas terão angulações iniciais diferentes:

0 = cos ⁡ θ → θ = π 2  

0 = sin ⁡ θ → θ = 0  

Em coordenadas cartesianas esse ponto será igual a:

x , y = 0,0

Gráfico das duas funções gerado pelo Desmos, para que a gente veja que nossos cálculos estão corretos está abaixo:

Aqui na aba esquerda é onde você coloca a equação da curva que você quer plotar.

Os valores de r em cosseno serão negativos quando passam de θ = π / 2 tendo valores abaixo de y .

Pois os valores de x que são iguais a x = r cos ⁡ θ   vão ser iguais a x = cos 2 ⁡ θ   nunca sendo negativos.

Os valores de r para a função seno serão negativos quando passam de θ = π e somente terá termos positivos em y , pois ficará igual a y = r   s e n   θ = s e n 2 θ nunca sendo negativos em y .

Resposta

r , θ = 2 2 , π 4

x , y = ( 0,0 )

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