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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 45

Encontre todos os valores positivos de b para os quais a série ∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n converge.

Passo 1

Então, pessoal... aqui queremos associas a convergência da nossa série com o valor de b :

∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n

Então aqui o nosso termo geral é:

a n = b ln ⁡ n

Hmmmm e agora???? A gente tem uma constante e nossa variável tá no expoente... Seria bem mais fácil se fosse ao contrário ne, seria algo bem mais conhecido...

Mas fica tranquilo porque vamos contar com a ajuda de um super-herói: o SUPER M(ACETE)!

Se liga só na dica do nosso super-herói. Vamos aplicar algumas propriedades de log pra trazer nossa variável n pra base da potência e tirar do expoente:

b ln ⁡ n = e ln ⁡ b ln ⁡ n = e ln ⁡ n ln ⁡ b = n ln ⁡ b

Transformamos a nossa série numa p-série!!!

As p-séries tem a forma a seguir e elas convergem pra valores de p > 1 :

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Então agora vamos comparar nossa série com uma p-série, encontrar o valor de p e ver quando converge!

Passo 2

Depois da dica do nosso super herói, nossa série ficou assim:

∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ b

Vamos comparar com a p-série:

∑ n = 1 ∞ 1 n p = ∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ b

É pareciso, mas na p-série, o n ta no denominador ne.... então vamos botar ele lá!

∑ n = 1 ∞ 1 n p = ∑ n = 1 ∞ 1 n - ln ⁡ b

Agora sim! Na nossa série, a razão é:

p = - ln ⁡ b

E como queremos que a série seja convergente:

p = - ln ⁡ b > 1

Passo 3

- ln ⁡ b > 1

Aplicando a exponencial dos 2 lados:

e - ln ⁡ b > e 1

e ln ⁡ b - 1 > e

Pela definição de logaritmo:

b - 1 > e

1 b > e

b < 1 e

FINALMENTEEEEEE! O critério para a convergência da nossa série original é:

b < 1 e

Resposta

∑ n = 1 ∞ b ln ⁡ n   é convergente para   b < 1 e

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No Exemplo 9 mostramos que a série harmônica é divergente. Aqui, esboçamos outro método, que faz uso do fato de que para qualquer e x1 + x para qualquer x0 . (Veja o Exercício 4.3.76, no Volume I.)Se
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) (5 - 2 sqrt(n))/(n^3)
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) ( n^(- 1,4) + 3 n^(- 1,2) )
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) (2)/(n^(0,85))
Determine se a série é convergente ou divergente.1 + (1)/(2 sqrt(2)) + (1)/(3 sqrt(3)) + (1)/(4 sqrt(4)) + (1)/(5 sqrt(5)) + ...