Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 12
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Fala, meus queridos! Tudo na paz?
Aqui nessa seção nós estamos analisando a convergência da série pelo Teste da Integral, que basicamente diz que:
O Teste da Integral Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em
e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Acontece que aqui nós veremos que a nossa série é do tipo e a análise desse tipo de série para o teste da integral é direta, basta analisar o valor de , sem necessidade de calcular o valor da integral.
Fica bem mais fácil, né? Vamos por partes.
Passo 2
Show de bola, galera...Estamos diante de uma p-série, certo? Eita! Como enxergar uma p-série ali no enunciado? 
Vamos olhar atentamente nossa série e perceber alguns padrões:
Perceba que para o primeiro termos temos , no segundo e assim por diante. Nota que nosso numerador é sempre 1 e o denominador é o próprio multiplicado da sua própria raiz quadrada. Daí:
Mas ainda não está com a carinha de série-p que precisamos: .
Então vamos utilizar algumas propriedades da potenciação:
E nossa soma pode ser escrita da seguinte forma:
Passo 3
Agora fica bem mais fácil entender que
Para a série-p, temos:
- É convergente se
- É divergente se
Então, como a nossa p-série tem um valor de , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!