Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 66
Encontre todos os valores de e tais que:
Passo 1
O primeiro passo seria aplicarmos em e verificar que valor, em tese, o limite valeria. Teríamos:
Nesse caso, o limite não existiria. Então fica claro que pra calcular esse limite, independentemente dos valores das constantes e , alguma manipulação precisa ser trabalhada na função.
A mais clássica e prática pra funções quocientes é a regra de L’Hôpital. Mas a regra só pode ser aplicada nos casos de indeterminação do tipo ou .
Passo 2
Assim, vamos manipular a nossa função de forma que possamos aplicar L’Hôpital nela. Como, com tendendo a zero, o denominador vai zerar de qualquer forma, vamos fazer o numerador também zerar, e aí sim, poderemos aplicar a regra.
Ou seja, vamos fazer com que:
Isso, com tendendo a zero, certo? Ao aplicarmos em , o cosseno vai a 1, e teremos:
Nisso, já concluímos o valor de , que é . Partindo daí, considerado esse o valor de aplicamos L’Hopital, derivando numerador e denominador da função original.
Passo 3
Derivando (usando a regra da cadeia no numerador), teremos:
Aqui, mais uma vez, se aplicamos em , ainda não saímos da indeterminação , pois seno de zero é zero, e o no denominador vai zerá-lo também.
Assim, aplicamos de novo a regra, derivando em cima e embaixo outra vez. Vamos ter:
Agora já podemos aplicar direto em sem o problema de indeterminações. Lembrando que esse limite vale , como está no enunciado. Assim:
Teremos:
Assim, são esses os possíveis valores pra e .
Resposta
e