Encontre todos os valores de k e l tais que:

lim x->0 (k + cos(lx)) / x^2 = -4

Passo 1

O primeiro passo seria aplicarmos 0 em x e verificar que valor, em tese, o limite valeria. Teríamos:

l i m x → 0 k + cos ⁡ l x x 2 = k + cos ⁡ l ∙ 0 0 2 = k + 1 0 = ∞

Nesse caso, o limite não existiria. Então fica claro que pra calcular esse limite, independentemente dos valores das constantes k e l , alguma manipulação precisa ser trabalhada na função.

A mais clássica e prática pra funções quocientes é a regra de L’Hôpital. Mas a regra só pode ser aplicada nos casos de indeterminação do tipo 0 0 ou ∞ ∞ .

Passo 2

Assim, vamos manipular a nossa função de forma que possamos aplicar L’Hôpital nela. Como, com x tendendo a zero, o denominador vai zerar de qualquer forma, vamos fazer o numerador também zerar, e aí sim, poderemos aplicar a regra.

Ou seja, vamos fazer com que:

k + cos ⁡ l x = 0

Isso, com x tendendo a zero, certo? Ao aplicarmos 0 em x , o cosseno vai a 1, e teremos:

k + 1 = 0

Nisso, já concluímos o valor de k , que é k = - 1 . Partindo daí, considerado esse o valor de k aplicamos L’Hopital, derivando numerador e denominador da função original.

Passo 3

Derivando (usando a regra da cadeia no numerador), teremos:

l i m x → 0 - 1 + cos ⁡ l x x 2 = l i m x → 0 - l ∙ sen ⁡ l x 2 x

Aqui, mais uma vez, se aplicamos 0 em x , ainda não saímos da indeterminação 0 0 , pois seno de zero é zero, e o x no denominador vai zerá-lo também.

Assim, aplicamos de novo a regra, derivando em cima e embaixo outra vez. Vamos ter:

l i m x → 0 - l ∙ sen ⁡ l x 2 x = l i m x → 0 - l 2 ∙ cos ⁡ l x 2

Agora já podemos aplicar direto 0 em x sem o problema de indeterminações. Lembrando que esse limite vale - 4 , como está no enunciado. Assim:

l i m x → 0 - l 2 ∙ cos ⁡ l x 2 = - 4

Teremos:

l 2 ∙ cos ⁡ l ∙ 0 2 = 4

l 2 ∙ 1 2 = 4

l 2 = 8

l = ± 2 2

Assim, são esses os possíveis valores pra k e l .

Resposta

k = - 1 e l = ± 2 2

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