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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 28

Use o método da redução de ordem para resolver a equação diferencial dada.

t 2 t + 3 y ' ' ' - 3 t t + 2 y ' ' + 6 1 + t y ' - 6 y = 0 ,     t > 0 ;

y 1 t = t 2 ,     y 2 t = t 3

Passo 1

Vamos começar retomando o conceito de redução de ordem. Este conceito diz que, se temos uma solução y = y 1 para uma equação diferencial de ordem n , podemos aplicar uma solução y = y 1 v ( t ) na equação, de forma a obter uma nova equação de uma ordem inferior. Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar aplicando a função y = t 2 v ( t ) . Para isso, vamos aplicar as derivadas:

y ' = t 2 v t

y ' = 2 t v + t 2 v '

y ' ' = ( 2 t v + t 2 v ' ) '

y ' ' = 2 v + 2 t v ' + 2 t v ' + t 2 v ' '

y ' ' = 2 v + 4 t v ' + t 2 v ' '

y ' ' ' = 2 v + 4 t v ' + t 2 v ' ' '

y ' ' ' = 2 v ' + 4 v ' + 4 t v ' ' + 2 t v ' ' + t 2 v ' ' '

y ' ' ' = 6 v ' + 6 t v ' ' + t 2 v ' ' '

Colocando estes valores na equação:

t 2 t + 3 y ' ' ' - 3 t t + 2 y ' ' + 6 1 + t y ' - 6 y = 0

t 2 t + 3 ( 6 v ' + 6 t v ' ' + t 2 v ' ' ' ) - 3 t t + 2 ( 2 v + 4 t v ' + t 2 v ' ' ) + 6 1 + t ( 2 t v + t 2 v ' ) - 6 t 2 v = 0

v - 3 t t + 2 x 2 + 6 1 + t x 2 t - 6 t 2 + t 2 t + 3 6 v ' + 6 t v ' ' + t 2 v ' ' ' - 3 t t + 2 4 t v ' + t 2 v ' ' + 6 1 + t t 2 v ' = 0

t 2 t + 3 6 v ' + 6 t v ' ' + t 2 v ' ' ' - 3 t t + 2 4 t v ' + t 2 v ' ' + 6 1 + t t 2 v ' = 0

v ' ' ' t 4 t + 3 + v ' ' t 3 t + 3 - 3 t 3 t + 2 + v ' 6 t 2 t + 3 - 12 t 2 t + 2 + 6 t 2 1 + t = 0

v ' ' ' t 4 t + 3 + v ' ' - 2 t 4 - 3 t 3 = 0

Passo 3

Chamando v ' ' = 0 e v ' ' ' = 0 :

v ' = ∫ v ' ' d t

v ' = C

v = ∫ v ' d t

v = ∫ C d t

v = C t + c

Aplicando v t = C t + c na equação:

t 2 t + 3 y ' ' ' - 3 t t + 2 y ' ' + 6 1 + t y ' - 6 y = 0

v ' = C

v ' ' = 0

v ' ' ' = 0

t 2 t + 3 x 0 - 3 t t + 2 x 0 + 6 1 + t C - 6 ( C t + c ) = 0

6 C + 6 C t - 6 C t - 6 c = 0

c = C

Então, podemos escrever v t = C ( t + 1 )

Resposta

As três soluções da equação são y 1 t = t 2 , y 2 = t 3 e v t = t + 1 . Então, a solução geral da equação é:

y = C 1 t 2 + C 2 t 3 + C 3 ( t + 1 )

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