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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 27

Use o método da redução de ordem para resolver a equação diferencial dada.

2 - t y ' ' ' + 2 t - 3 y ' ' - t y ' + y = 0 ,     t < 2 ;

y 1 t = e t

Passo 1

Vamos começar retomando o conceito de redução de ordem. Este conceito diz que, se temos uma solução y = y 1 para uma equação diferencial de ordem n , podemos aplicar uma solução y = y 1 v ( t ) na equação, de forma a obter uma nova equação de uma ordem inferior. Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar aplicando a função y = e t v ( t ) . Para isso, vamos aplicar as derivadas:

y ' = e t v t

y ' = e t v + e t v '

y ' ' = ( e t v + e t v ' ) '

y ' ' = e t v + e t v ' + e t v ' + e t v ' '

y ' ' = e t v + 2 e t v ' + e t v ' '

y ' ' ' = e t v + 2 e t v ' + e t v ' ' '

y ' ' ' = e t v + e t v ' + 2 e t v ' + 2 e t v ' ' + e t v ' ' + e t v ' ' '

y ' ' ' = e t v + 3 e t v ' + 3 e t v ' ' + e t v ' ' '

Colocando estes valores na equação:

2 - t y ' ' ' + 2 t - 3 y ' ' - t y ' + y = 0

2 - t ( e t v + 3 e t v ' + 3 e t v ' ' + e t v ' ' ' ) + 2 t - 3 ( e t v + 2 e t v ' + e t v ' ' ) - t ( e t v + e t v ' ) + e t v = 0

v 2 - t e t + 2 t - 3 e t - t e t + e t + 2 - t 3 e t v ' + 3 e t v ' ' + e t v ' ' ' + 2 t - 3 2 e t v ' + e t v ' ' - t e t v ' = 0

2 - t 3 e t v ' + 3 e t v ' ' + e t v ' ' ' + 2 t - 3 2 e t v ' + e t v ' ' - t e t v ' = 0

e t 2 - t 3 v ' + 3 v ' ' + v ' ' ' + 2 t - 3 2 v ' + v ' ' - t v ' = 0

2 - t 3 v ' + 3 v ' ' + v ' ' ' + 2 t - 3 2 v ' + v ' ' - t v ' = 0

A equação de segunda ordem para v ' fica:

2 - t v ' ' ' + 6 - 3 t + 2 t - 3 v ' ' + 6 - 3 t + 4 t - 6 - t v ' = 0

2 - t v ' ' ' + t - 3 v ' ' = 0

Passo 3

Considerando v ' ' = 0 e v ' ' ' = 0 :

v ' = ∫ v ' ' d t

v ' = C

v = ∫ v ' d t

v = ∫ C d t

v = C t + c

Se aplicarmos v t = C t + c na equação:

2 - t y ' ' ' + 2 t - 3 y ' ' - t y ' + y = 0

v ' = C

v ' ' = 0

v ' ' ' = 0

2 - t x 0 + 2 t - 3 x 0 - C t + C t + c = 0

c = 0 ;

E C é uma constante arbitrária.

Resposta

Portanto, as soluções para a equação são y 1 = e t , v t = t e y 1 v = t e t . Então, escrevendo como uma combinação linear:

y = C 1 e t + C 2 t + C 3 t e t

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1 - x ' = x + y + t ,y ' = 4 x– 2 y ; x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 0
6 - x ' = exp ⁡ ( - x + y ) - cos ⁡ x ,y ' = sen ⁡ ( x - 3 y ); x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 2
3 - Considere novamente o problema de valor inicial (16) do Exemplo 2. Investigue o quão pequeno tem que ser o tamanho do passo h para garantir que o erro em t=0,05 e em t = 0,1 seja menor do que 0,00
1 - Para obter alguma ideia dos perigos possíveis de pequenos erros nas condições iniciais, taiscomo aqueles decorrentes de arredondamentos, considere o problema de valor inicial y ' = t + y -3 , y 0
2 - Considere o problema de valor inicial y ' = t 2 + e y , y 0 = 0 .Usando o método de Runge-Kutta com tamanho de passo h, obtemos os resultados na Tabela8.6.5. Esses resultados sugerem que a solução