Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 17
Mostre que para todo . Você pode obter esse resultado sem calcular diretamente o wronskiano?
Passo 1
O exercício nos dá uma equação diferencial de terceira ordem e três possíveis soluções: e . O wronskiano é definido como:
Nosso primeiro passo será calcular as derivadas de cada função até a segunda ordem e, então, aplicar no wronskiano. Tudo bem??? Vamos lá.
Passo 2
Vamos começar com a função :
Então
A próxima função é :
E
Vamos agora para a função :
Passo 3
Vamos agora para o wronskiano. Ele é dado por:
O exercício nos pede para dizer se seria possível dizer que o wronskiano é zero, sem fazer o cálculo do determinante. Para responder isso, vamos aplicar uma propriedade de determinantes. A propriedade é a seguinte: se uma das linhas é uma combinação linear das outras linhas da matriz, então o determinante é zero. Se multiplicarmos a segunda linha da matriz por dois podemos verificar que vamos obter exatamente os valores da terceira linha. Então, como a última linha é uma combinação linear da segunda linha, poderíamos dizer que o determinante seria zero, sem precisar calcular o wronskiano.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)