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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 41

Verifique que as trajetórias ortogonais da família de curvas dada pelas equações paramétricas, x = c 1 . e t cos ⁡ t , y = c 1 . e t s e n ( t ) são

x = c 2 . e - t . cos ⁡ t ,     y = c 2 . e - t . s e n t

Sugestão: d y d x = d y d t d x d t

Passo 1

E aí, beleza? Vamos matar mais um exercício

Vamos começar derivando cada uma das equações paramétricas em relação a t :

x = c 1 . e t cos ⁡ t

d x d t = c 1 . e t . cos ⁡ t + c 1 . e t . ( - s e n t )

d x d t = c 1 . e t . cos ⁡ t - s e n   t

Agora para y :

y = c 1 . e t s e n ( t )

d y d t = c 1 . e t . s e n t + c 1 . e t . cos ⁡ t

d y d t = c 1 . e t . ( s e n   t + cos ⁡ t )

E chegou o grande momento de usarmos a sugestão do enunciado:

d y d x = d y d t d x d t

Assim:

d y d x = c 1 . e t . ( s e n   t + cos ⁡ t ) c 1 . e t . cos ⁡ t - s e n   t

d y d x = c 1 . e t . s e n   t + c 1 . e t . cos ⁡ t c 1 . e t . c o s   t - c 1 . e t . sen ⁡ t

Mas lembra que x = c 1 . e t cos ⁡ t e y = c 1 . e t s e n ( t ) ? Então:

d y d x = x + y x - y

Essa é a equação diferencial da família dada, agora vamos encontrar a equação diferencial das trajetórias ortogonais blz?

Passo 2

Para encontrarmos a equação diferencial das trajetórias ortogonais, vamos inverter o d y d x que encontramos e acrescentar um sinal de menos:

d y d x = x + y x - y       ( f a m i l i a   d a d a )

d y d x = - x - y x + y       ( t r a j e t o r i a s   o r t o g o n a i s )

Mas olha só, essa equação diferencial das trajetórias ortogonais é satisfeita por

x = c 2 . e - t . cos ⁡ t ,     y = c 2 . e - t . s e n t

Então ta provadooo

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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