Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f ( t ) = ∫ 0 t ( t - τ ) e τ d τ

Passo 1

Reconheça que f (t) é uma convolução integral das duas funções, t   e   e t . A transformada de Laplace de f (t) pode ser encontrada usando o teorema da convolução, que afirma que:

ℒ { ∫ 0 t g ( t - τ ) h ( τ ) d τ } = G ( s ) H ( s ) .

onde G e H são as transformadas de Laplace de g e h, respectivamente.

Passo 2

Portanto,

ℒ { f ( t ) } = ℒ { ∫ 0 t ( t - τ ) e τ d τ } = ℒ { t } ℒ { e t } = 1 s 2 ( s - 1 )

Resposta

ℒ { f ( t ) } = ℒ { ∫ 0 t ( t - τ ) e τ d τ } = ℒ { t } ℒ { e t } = 1 s 2 ( s - 1 )

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