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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 2

Encontre um exemplo diferente do que foi dado no texto mostrando que (f ∗ 1)(t) não precisa

ser igual a f(t).

Passo 1

A convolução de duas funções, f e g, é definida como

f * g = ∫ 0 t f ( t - τ ) g ( τ ) d τ

Se g = 1, então

f * 1 = ∫ 0 t f ( t - τ ) d τ

No texto, o caso f ( t ) = c o s ( t ) foi considerado para mostrar que f * 1 ≠ f .

f * 1 = ∫ 0 t c o s ( t - τ ) d τ ≠ f

Passo 2

Confira o caso f ( t ) = s e n ( t )

f * 1 = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) d τ = 1 - c o s ( t )   ≠ f .

Passo 3

Além disso, confira o caso f ( t ) = e t

f * 1 = ∫ 0 t e t - τ d τ = e t - 1 ≠ f

Resposta

f * 1 = ∫ 0 t c o s ( t - τ ) d τ ≠ f

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