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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 3

Mostre que f ∗ f não precisa ser não negativa usando o exemplo f ( t ) = s e n ( t ) .

Passo 1

Avalie a integral de convolução f∗f.

f * f = ∫ 0 t f ( t - τ ) f ( τ ) d τ = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) s e n ( τ ) d τ = - 1 2 t   c o s ( t ) + 1 2 s e n ( t ) = 1 2 [ s e n ( t )   - t   c o s ( t )   ]

Passo 2

Como mostra o gráfico de s e n ( t ) - t   c o s ( t ) 2 versus t, f∗f não é necessariamente não negativo.

Resposta

f * f = ∫ 0 t f ( t - τ ) f ( τ ) d τ = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) s e n ( τ ) d τ = - 1 2 t   c o s ( t ) + 1 2 s e n ( t ) = 1 2 [ s e n ( t )   - t   c o s ( t )   ]

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