Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 42
Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície no ponto Você não tem a equação para , mas sabe que as curvas
e
ambas estão em Encontre uma equação para o plano tangente em
Passo 1
Nessa questão, temos de determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Todavia, a única informação que possuímos são duas curvas que pertencem à superfície S.
Sabemos que os vetores e são vetores tangentes às curvas e . No entanto, se essas curvas pertencem à superfície , esses vetores estão na superfície de .
Como isso nos ajuda? Se temos dois vetores não-paralelos no plano, a direção perpendicular a ele será a direção perpendicular ao plano. Portanto, ao obter um vetor perpendicular a no ponto , obtemos a equação de um plano tangente à .
Então vamos focar em obter esse vetor perpendicular.
Passo 2
No ponto temos . Podemos impor essa condição nas definições de e para obter os parâmetros e que fazem as curvas passarem em .
Vamos lá...
Forçando que
Logo, Você pode substituir em e verificar que .
Forçando , temos
Note, no entanto, que não resulta em e , somente
Portanto, usaremos
Passo 3
Agora precisamos encontrar os vetores tangentes às curvase no ponto , ou seja, para e .
Começando por
Logo,
Da mesma forma, com temos:
No ponto temos
Vemos que esses dois vetores não são paralelos, pois eles não são múltiplos um do outro. Desse modo, eles formam um plano. Podemos obter um vetor perpendicular a esses dois vetores através do produto vetorial entre eles.
Passo 4
Realizando o produto vetorial dos vetores encontrados no passo anterior, teremos então um vetor normal à superfície no ponto .
Efetuando o cálculo desse determinante, obtemos
Vamos chamar esse vetor de Ele é perpendicular ao plano formado pelos vetores e , que é o plano tangente a no ponto
Passo 5
A equação de um plano que passa pelo ponto e tem vetor normal :
Assim, temos a equação do plano tangente em P: