Enunciado

Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície S no ponto P 2,1 , 3 . Você não tem a equação para S , mas sabe que as curvas

r 1 t = 2 + 3 t ,   1 - t 2 , 3 - 4 t + t 2

e

r 2 u = 〈 1 + u ² , 2 u ³ - 1,2 u - 1 〉

ambas estão em S . Encontre uma equação para o plano tangente em P .

Passo 1

Nessa questão, temos de determinar a equação do plano tangente à superfície S   no ponto P ( 2,1 , 3 ) . Todavia, a única informação que possuímos são duas curvas que pertencem à superfície S.

r 1 t = 〈 2 + 3 t ,   1 - t 2 , 3 - 4 t + t ² 〉

r 2 u = �� 1 + u ² , 2 u ³ - 1,2 u - 1 〉

Sabemos que os vetores r 1 ' ( t ) e r 2 ' u são vetores tangentes às curvas r 1 t   e r 2 u . No entanto, se essas curvas pertencem à superfície S , esses vetores estão na superfície de S .

Como isso nos ajuda? Se temos dois vetores não-paralelos no plano, a direção perpendicular a ele será a direção perpendicular ao plano. Portanto, ao obter um vetor perpendicular a S no ponto P ( 2,1 , 3 ) , obtemos a equação de um plano tangente à S .

Então vamos focar em obter esse vetor perpendicular.

Passo 2

No ponto P 2,1 , 3 temos x = 3 . Podemos impor essa condição nas definições de r 1 t   e r 2 u para obter os parâmetros t e u que fazem as curvas passarem em P .

Vamos lá...

Forçando que x 1 t = 2

2 + 3 t = 2

Logo, t = 0 . Você pode substituir t = 0 em r 1 t e verificar que r 1 0 = ( 2,1 , 3 ) .

Forçando x 2 u = 2 , temos

1 + u 2 = 2

u = ± 1

Note, no entanto, que u = - 1 não resulta em y 2 - 1 = 1 e z 2 - 1 = 3 , somente u = 1 .

Portanto, usaremos   u = 1 .

Passo 3

Agora precisamos encontrar os vetores tangentes às curvas   r 1 t   e r 2 u no ponto P , ou seja, para t = 0 e u = 1 .

Começando por r 1 t = 〈 2 + 3 t ,   1 - t 2 , 3 - 4 t + t ² 〉 :

r 1 ' t = ⟨ 3 , - 2 t , - 4 + 2 t ⟩

Logo, r 1 ' 0 = ⟨ 3,0 , - 4 ⟩

Da mesma forma, com r 2 u = 1 + u 2 , 2 u 3 - 1,2 u - 1 , temos:

r 2 ' u = ⟨ 2 u ,   6 u 2 , 2 ⟩

No ponto u = 1 ,   temos

r 2 ' 1 = ⟨ 2 , 6,2 ⟩

Vemos que esses dois vetores não são paralelos, pois eles não são múltiplos um do outro. Desse modo, eles formam um plano. Podemos obter um vetor perpendicular a esses dois vetores através do produto vetorial entre eles.

Passo 4

Realizando o produto vetorial dos vetores encontrados no passo anterior, teremos então um vetor normal à superfície no ponto P ( 2,1 , 3 ) .

r 1 0 × r 2 1 =   i ^ j ^ k ^ 3 0 - 4 2 6 2

Efetuando o cálculo desse determinante, obtemos

r 1 0 × r 2 1 = 24 i ^ - 14 j ^ + 18 k ^

Vamos chamar esse vetor de V .   Ele é perpendicular ao plano formado pelos vetores r 1 0 e r 2 1 , que é o plano tangente a S no ponto P .

Passo 5

A equação de um plano que passa pelo ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) e tem vetor normal V = ( a , b , c ) :

a , b , c ⋅ x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 = 0

Assim, temos a equação do plano tangente em P:

24 , - 14 ,   18   ⋅ ( x - 2 ,   y - 1 ,   z - 3   ) =   0

24 x - 48 - 14 y + 14 + 18 z - 54 = 0

24 x - 14 y + 18 z - 88 = 0

Resposta

24 x - 14 y + 18 z - 88 = 0

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