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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 22

Use a Regra da Cadeia para encontrar a derivada parcial indicada.

T = v 2 u + v

u = p q r

v = p q r

∂ T ∂ p   ; ∂ T ∂ q   ; ∂ T ∂ r

Quando:

p = 2   ; q = 1   ; r = 4

Passo 1

Oie, meu amigo. Tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente precisa calcular as derivadas parciais da função:

T = v 2 u + v

O interessante aqui é que as variáveis dessa função são dependentes de outras variáveis:

u = p q r

v = p q r

Sendo assim, a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

∂ T ∂ p = T u ⋅ u p + T v ⋅ v p

∂ T ∂ r = T u ⋅ u r + ⋅ T v ⋅ v r

∂ T ∂ q = T u ⋅ u q + T v ⋅ v q

Passo 2

Seja a função u = r ² + s ² ,   r = y + x ⋅ c o s t ,   s = x + y ⋅ s e n ( t ) , vamos começar encontrando T u :

T = v 2 u + v

Aqui a gente precisa utilizar a regra do quociente para derivadas:

T u = 2 u + v ⋅ ∂ v ∂ u - v ⋅ ∂ 2 u + v ∂ u 2 u + v 2

Temos então:

T u = - 2 v 2 u + v 2

Agora iremos para u p :

u = p q r

Então temos:

u p = ∂ p q r ∂ u

u p = q r

Agora é hora de encontramos T v :

T = v 2 u + v

Então vamos novamente aplicar a regra do quociente:

T u = 2 u + v ⋅ ∂ v ∂ v - v ⋅ ∂ 2 u + v ∂ v 2 u + v 2

T u = 2 u 2 u + v 2

E temos também que encontrar v p :

v = p q r

Temos então:

v p = q r

Agora a gente monta a nossa derivada:

∂ T ∂ p = T u ⋅ u p + T v ⋅ v p

T p = 2 u q r - 2 v q r 2 u + v 2

Passo 3

Vamos agora encontrar T q , para isso a gente precisa encontrar u q e v q :

u = p q r

Derivando a gente tem:

u q = p r

E agora derivando:

v = p q r

v q = p ⋅ q 1 2 r '

v q = p 1 2 q - 1 2 ⋅ r

Agora a gente substitui esses resultados com os outros que já obtivemos, e encontramos:

∂ T ∂ q = T u ⋅ u q + T v ⋅ v q

T q = - 2 p v r 2 u + v 2 + u p r q 2 u + v 2

Agora por último iremos encontrar:

∂ T ∂ r = T u ⋅ u r + ⋅ T v ⋅ v r

Precisamos encontrar u r e v r :

u = p q r

Derivando:

u r = p q 1 2 r - 1 2

Agora a gente vai calcular v r :

v = p q r

v r = p q

Agora a gente de novo monta tudo:

T r = - v p q r 2 u + v 2 + 2 u p q 2 u + v 2

Passo 4

Hora de calcular o valor numérico das derivadas parciais:

T r = - v p q r 2 u + v 2 + 2 u p q 2 u + v 2

Substituindo os valores:

u = 4   ; v = 8 ; p = 2   ; q = 1   ; r = 4

T r = - 8 ⋅ 2 ⋅ 1 4 2 ⋅ 4 + 8 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 2 1 2 ⋅ 4 + 8 2

T r = 1 32

Continuando com as substituições:

T q = - 2 p v r 2 u + v 2 + u p r q 2 u + v 2

T q = - 2 ⋅ 2 ⋅ 8 4 2 ⋅ 4 + 8 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 4 1 2 ⋅ 4 + 8 2

T q = - 1 8

Por último:

T p = 2 u q r - 2 v q r 2 u + v 2

Temos:

T p = 2 ⋅ 4 1 ⋅ 4 - 2 ⋅ 8 ⋅ 1 4 2 ⋅ 4 + 8 2

T p = 32 - 32 16 2 = 0

Resposta

T p = 0

T q = - 1 8

T r = 1 32

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