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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 33

Encontre d y d x usando o método da derivação logarítimica:

y = ( ln ⁡ ( x ) ) t g ( x )

Passo 1

A técnica de diferenciação logarítimica consiste em aplicar a função logaritimo natural de ambos os lados da função, permitindo aplicar propriedades importantes de logaritimo para facilitar o calculo da derivada.

Se a função :

y = ( ln ⁡ ( x ) ) t g ( x )

Aplicando a função logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( ln ⁡ x ) tg ⁡ x

Aplicando propriedade de logaritmo:

l n ⁡ ( y ) = t g ( x ) . ln ⁡ l n ⁡ ( x )

Aplicando a derivada em ambos os lados:

d d x ln ⁡ y = d d x t g ( x ) . ln ⁡ l n ⁡ ( x )

Resolvendo as derivadas, e aplicando a regra do produto, ficamos com:

1 y . d y d x = sec 2 ⁡ x . ln ⁡ ln ⁡ x + t g x . 1 x . l n ⁡ ( x )

Multiplicamos ambos os lados da equação por y :

d y d x = sec 2 ⁡ x . ln ⁡ ln ⁡ x + t g x x . l n ⁡ ( x ) .   ( ln ⁡ ( x ) ) t g ( x )

Resposta

d y d x = s e n ( x ) x + c o s ⁡ ( x ) ln ⁡ x .   ( ln ⁡ ( x ) ) t g ( x )

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