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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 7

Encontre d y // d x .

y = ln ((x)/(1 + x^2))

Passo 1

Para resolver essa derivada, começamos usando a regra da cadeia:

(f (g))^' = f^' (g) xx g '

Considerando g = (x)/(1 + x^2) , então:

(d)/(d g) (ln g) xx (d)/(d x) ((x)/(1 + x^2))

Agora, aplicamos a regra o quociente:

((f)/(g))^' = (f^' xx g - f xx g ')/(g^2)

Considerando f = x e g = 1 + x^2 , então:

((d)/(d x) ( x ) xx (1 + x^2) - x xx (d)/(d x) (1 + x^2))/(( 1 + x^2 )^2)

((1 + x^2) - x xx 2 x)/(( 1 + x^2 )^2)

(1 - x^2 - 2 x^2)/(( 1 + x^2 )^2) = (1 - x^2)/((1 + x^2)^2)

Voltamos para a expressão e substituindo o valor de g :

(1)/(g) xx (1 - x^2)/((1 + x^2)^2)

(1 + x^2)/(x) xx (1 - x^2)/((1 + x^2)^2)

Simplificando a expressão, temos:

= (1 - x^2)/(x (1 + x^2))

= (1 - x^2)/(x + x^3)

Portanto, (d)/(d x) (ln ((x)/(1 + x^2))) = (1 - x^2)/(x + x^3) .

Prontinho!!

Resposta

(1 - x^2)/(x + x^3)

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