Encontre dy / dx usando o método da derivação logarítimica:

y = (x^3 - 2x)^(ln(x))

Passo 1

A técnica de diferenciação logarítimica consiste em aplicar a função logaritimo natural de ambos os lados da função, permitindo aplicar propriedades importantes de logaritimo para facilitar o calculo da derivada.

Se a função :

y = x 3 - 2 x ln ⁡ x

Aplicando a função logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = ln ⁡ x 3 - 2 x ln ⁡ x

Aplicando propriedade de logaritmo:

l n ⁡ ( y ) = ln ⁡ x . ln ⁡ x 3 - 2 x

Aplicando a derivada em ambos os lados:

d d x ln ⁡ y = d d x ln ⁡ x . ln ⁡ x 3 - 2 x

Resolvendo as derivadas, e aplicando a regra do produto, ficamos com:

1 y . d y d x = 1 x . ln ⁡ x 3 - 2 x + 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x . ln ⁡ x

Multiplicamos ambos os lados da equação por y :

d y d x = ln ⁡ x 3 - 2 x x + ln ⁡ x ( 3 x 2 - 2 ) x 3 - 2 x .   x 3 - 2 x ln ⁡ x

Resposta

d y d x = ln ⁡ x 3 - 2 x x + ln ⁡ x ( 3 x 2 - 2 ) x 3 - 2 x .   x 3 - 2 x ln ⁡ x

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