Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 36
Encontre um valor de que garanta que o erro absoluto na aproximação da integral com a aproximação pelo ponto médio seja inferior a . Dê uma estimativa do erro absoluto e expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.
Passo 1
E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.
Assim, lembrando que a fórmula da aproximação pelo ponto médio é dada por:
Podemos montar uma tabela para cada valor de nos subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.
Para esse caso teremos os seguintes valores:
Ainda, o software usado para calcular a integral será o WolframAlpha e o resultado obtido será comparado ao encontrado na regra em questão.
A fórmula da estimativa do erro para a aproximação pelo ponto médio é dada por:
Passo 2
Então, para a nossa respectiva integral
Temos que o erro absoluto na aproximação seja:
Ou seja:
Onde é o valor máximo da n-ésima derivada da função integrando. Dessa forma, precisamos derivar duas vezes a função, tal que:
Resulta em:
E, finalmente:
No intervalo dado da integração , o valor máximo é dado por:
Em que o valor máximo de cada função modular no intervalo é:
Então:
Logo, podemos descobrir o valor das subdivisões:
Portanto:
Ou seja:
Como precisa ser um inteiro par, o menor valor de subintervalos aceito será .
Passo 3
Portanto, o erro absoluto dessa aproximação pode ser estimado por:
Logo: