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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 24

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ 0 2     2 x - x 3 d x  

Passo 1

Fala meu querido. Rafha aqui e estarei lhe ajudando a fazer mais essa questão.

Aqui precisamos resolver a integral

∫ 0 2     2 x - x 3 d x

utilizando o Teorema 4, pois bem.

O teorema 4 diz que:

∫ a b f ( x )   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Com

x i = a + i   Δ x

e

Δ x = b - a n

Bora lá!

Passo 2

Da definição, temos que a = 0 e b = 2 .  

Daí,

Δ x = 2 - 0 n = 2 n

    e

x i = 0 + i   Δ x

x i =   2 i n

Substituindo, temos que

∫ 0 2 2 x - x 3   d x = lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n     2 ⋅ 2 i n - 2 i n 3 ⋅ 2 n

Abrindo a potência de 3,

  lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   4 i n - 8 i 3 n 3   ⋅ 2 n

Multiplicando os termos,

lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n [ 8 i n 2 - 16 i 3 n 4   ]

Como o somatório não depende de n , podemos por os fatores acompanhados de n para fora, e abrir o somatório em dois, um para cada termo.

lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n [ 8 i n 2 - 16 i 3 n 4   ]   =     lim n → ∞ ⁡     8 n 2 ∑ i = 1 n i - 16 n 4   ∑ i = 1 n i 3  

Passo 3

Esses somatórios representam somas. Algumas delas nós temos alguns resultados prontos:

∑ i = 1 n i = n 1 + n 2

∑ i = 1 n i 3   =   n n + 1 2 4

Dessa forma, usando esses resultados, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 8 n 2 ∑ i = 1 n i - 16 n 4   ∑ i = 1 n i 3      

=   l i m n → ∞     8 n 2 n 1 + n 2 -   16 n 4 n n + 1 2 4    

Simplificando as contas,  

l i m n → ∞       4 1 + n n -   4 1 + n 2 n 2  

Realizando o MMC e colocando o 4 para fora do limite, temos:

= 4   l i m n → ∞ n + n 2 - 1 + n 2 n 2

Abrindo as contas,

4   l i m n → ∞ n + n 2 - 1 + n 2 n 2 = 4   l i m n → ∞ n + n 2 - 1 + 2 n + n 2 n 2 = 4   l i m n → ∞ - 1 - n n 2

Como

l i m n → ∞ - 1 - n n 2 = ∞ ∞

Usando Lhospital, derivamos em cima e embaixo em função de n :

l i m n → ∞ - 1 - n n 2 =   l i m n → ∞ - 1 2 n = 0    

Logo,

4   l i m n → ∞ - 1 - n n 2 =   0  

Resposta

∫ 0 2     2 x - x 3 d x =   0  

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Preencha as lacunas: 1 + 3 + 5 + … + 2 n - 1 = ∑ k = 1 n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Use a parte (a) para provar que a soma dos n primeiros inteiros ímpares consecutivos é um quadrado perfeito.