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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 31

Use int_b^a f (x) g (x) d x = f (x_0) int_b^a g (x) d x p a r a p r o v a r a d e s i g u a l d e

int_(- 1 // 2)^(1 // 2) s e n^2 (pi x) c o s ( pi x ) d x <= int_(- 1 // 2)^(1 // 2) c o s ( pi x ) d x

Passo 1

Temos que provar que f (x_0) < 1 . P o r q u e A s s i m f (x_0) int_b^a g (x) d x < int_b^a g (x) d x

Passo 2

Calculando f (x_0)

f (x_0) = (int_b^a f (x) d x)/(( a - b ))

Sabendo que s e n x 2 = ((1-2 cos( 2x)))/(2)

Passo 3

f (x_0) = (int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) s e n^2 (pi x) d x)/(((1)/(2) - (- (1)/(2))))

o n d e int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) (1-2cos(2x))/(2) = (1)/(2) (x - s e n 2 x) , x n o i n t e r v a l o [(1)/(2) , - (1)/(2)] f (x_0) = (1)/(2) ( (1)/(2) - (- (1)/(2)) - (s e n 1 - s e n (- 1))_

Como sen é função par, ou seja , sem(x) = sen(-x) , logo (s e n 1 - s e n (- 1)) = 0

Assim f (x_0) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2) int_(- 1 // 2)^(1 // 2) c o s ( pi x ) d x < int_(- 1 // 2)^(1 // 2) c o s ( pi x ) d x

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