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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.5 - Ex. 11

(a) Encontre o valor médio de f no intervalo dado.

(b) Encontre c tal que f m e d = f ( c ) .

(c) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área seja a mesma que a área sob o gráfico de f.

f x = 2 . s e n   x - s e n   2 x ,           [ 0 ,   π ]

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é?

Só vamos substituir:

f m e d = 1 π - 0 ∫ 0 π ( 2 . s e n   x - s e n   2 x ) . d x

Vamos separar os termos para integrar separadamente:

f m e d = 1 π ∫ 0 π 2 . s e n   x . d x - ∫ 0 π s e n   2 x . d x

Tiramos as constantes:

f m e d = 1 π 2 ∫ 0 π s e n   x . d x - ∫ 0 π s e n   2 x . d x

A primeira já conseguimos resolver, não é?

f m e d = 1 π 2 ( - cos ⁡ x ) - ∫ 0 π s e n   2 x . d x

Para resolvermos a próxima usamos a substituição:

u = 2 x

Derivando:

d u = 2 d x → d u 2 = d x

Substituindo:

f m e d = 1 π 2 ( - cos ⁡ x ) - ∫ 0 π s e n   u . d u 2

f m e d = 1 π 2 ( - cos ⁡ x ) - 1 2 ∫ 0 π s e n   u . d u

Resolvendo:

f m e d = 1 π 2 ( - cos ⁡ x ) - 1 2 ( - cos ⁡ u ) | π 0

Substituindo u:

f m e d = 1 π - 2 cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ 2 x | π 0

Aplicando o intervalo:

f m e d = 1 π - 2 cos ⁡ π + 1 2 cos ⁡ 2 π - - 2 cos ⁡ 0 + 1 2 cos ⁡ 2 . 0

f m e d = 1 π - 2 . ( - 1 ) + 1 2 ( 1 ) - - 2.1 + 1 2 . 1

f m e d = 1 π 2 + 1 2 - - 2 + 1 2 = 1 π 5 2 - - 3 2

f m e d = 1 π 5 2 + 3 2 = 8 2 π = 4 π

Já conseguimos a letra a! Bora pra b!

Passo 2

Na letra b queremos um valor c, tal que a função seja igual a 4 π :

f c = f m e d = 4 π

Vamos substituir c na função dada:

2 . s e n   c - s e n   2 c = 4 π

Então:

2 . s e n   c - s e n   2 c - 4 π = 0

Nós precisamos achar as raízes, então vamos tentar acha-las de uma forma mais fácil.

Como? Basta desenharmos esta função e descobrir os valores de c, ok?

Então os valores para c são:

c ' = 1,24     e     c ' ' = 2,81

Passo 3

Vamos desenhar a função dada pelo problema durante o intervalo, com x indo de 0 até π .

Qual a área abaixo do gráfico?

Basta integrarmos a função neste intervalo, não é?

A = ∫ 0 π ( 2 . s e n   x - s e n   2 x ) . d x = - 2 cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ 2 x | π 0

A = - 2 . ( - 1 ) + 1 2 ( 1 ) - - 2.1 + 1 2 . 1 = 5 2 + 3 2 = 8 2

A = 4

Agora só precisamos fazer um retângulo cuja área também é 4. Se a área de um retângulo é dada por:

A R = B × h = 4

Então, podemos fazer um desenho cuja:

h = 2

B = 2

Desenhando:

Resposta

  1. f m e d = 4 π ;
  2. c ' = 1,24     e     c ' ' = 2,81 ;
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