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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 61

Encontre o valor médio de f (x) = x^2 ln x no intervalo [ 1,3 ] .

Passo 1

Queremos calcular o valor médio da função no intervalo dado. Relembrando, o valor médio de uma função f num intervalo [ a , b ] é dado por

M = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Assim, o que precisamos fazer é calcular a integral da função no intervalo e dividir pelo tamanho do intervalo. Desta forma,

M = (1)/(3 - 1) int_1^3 x^2 ln x d x = (1)/(2) int_1^3 x^2 ln x d x

Para calcular essa integral, vamos precisar usar integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Chamando u = ln x (pois sua derivada é simples) e d v = x^2 d x , temos que d u = (1)/(x) d x e v = (x^3)/(3) . Assim, a integral fica

int_1^3 x^2 ln x d x = [(x^3)/(3) ln x]_1^3 - (1)/(3) int_1^3 x^3 * (1)/(x) d x = 9 ln 3 - (1)/(3) ln 1 - (1)/(3) int_1^3 x^2 d x

Passo 3

Desta forma,

int_1^3 x^2 ln x d x = 9 ln 3 - (1)/(9) [x^3]_1^3 = 9 ln 3 - (1)/(9) * 27 + (1)/(9) = 9 ln 3 - (26)/(9)

Assim, o valor médio será

M = (1)/(2) int_1^3 x^2 ln x d x = (9)/(2) ln 3 - (13)/(9)

Resposta

(9)/(2) ln 3 - (13)/(9)

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