Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 10

Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. A seguir, trace a curva e a(s) tangente(s) com auxílio de uma ferramenta gráfica.

Passo 1

Oie, meu amado amigo. Tudo bem com você?

Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje. Aqui a gente precisa encontrar a equação tangente a curva parametrizada:

No ponto:

A equação da reta tangente a uma curva em um determinado ponto genérico é dada por:

Em que:

Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de :

Aqui a deriva é relativamente simplis, precisamos apenas utilizar da regra da cadeia no segundo termo:

Agora a derivada de :

Substituindo na fórmula

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

Das identidades trigonométricas podemos dizer que:

Da primeira equação, tiramos que:

Assim:

Ou:

Testando esses dois valores de na segundo equação do sistema, vemos que a única que atende a é quando .

Substituindo no vetor tangente, temos:

Passo 4

Assim, a equação da reta tangente no ponto fica:

Substituindo os pontos e o valor numérico de :

Passo 5

Agora vamos traçar a curva e a nossa reta tangente no ponto .

Vamos usar a ajuda do Winplot, como a própria questão pede, pois esse tipo de curva não é nada fácil de desenhar na mão.

Mas em último caso, se estivermos no meio da floresta perdidos e sem pc, sempre podemos chutar vários valores para e ir plotando vários pontos pra ver a cara que a curva vai tomando e depois ligar os pontinhos, beleza?

Pra reta vale o mesmo raciocínio. Mas, plotar uma reta na mão é beeeeeem mais de boas e nesse caso aí é só fazer uma reta cortando o eixo em e com inclinação igual a .