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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 54

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2   d x                     e r r o < 0,001

Passo 1

Fala minha galera!!! Aqui temos uma questão em que foi solicitado calcular a integral

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2   d x

Com um erro < 0,001 .

Para calcular a integral, vamos substituir e - x 2 por sua série

Lembre-se que:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Então:

e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - x 2 ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n !

Então, na nossa integral

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2   d x = ∫ 0 0,5 x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n !   d x

= ∫ 0 0,5 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 n !   d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! ∫ 0 0,5 x 2 n + 2   d x

Vamos lembrar as propriedades das integrais?

∫ 0 1 x n   d x = x n + 1 n + 1 0 1

Então:

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! ⋅ x 2 n + 3 2 n + 3 0 0,5

Passo 2

Como com x = 0 todos os termos zeram, vamos usar somente x = 0,5

∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! ⋅ x 2 n + 3 2 n + 3 0 0,5 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! ⋅ ( 0,5 ) 2 n + 3 2 n + 3

Para achar a estimativa correta dentro da precisão pedida, vamos recordar que o erro será menor que o primeiro termo negligenciado, então precisamos expandir a série e acharmos o primeiro termo que seja em módulo < 0,001

= 0,5 3 3 - 0,5 5 5 + 0,5 7 2 ! 7 - 0,5 9 3 ! 9 + …

= 0,5 3 3 - 0,5 5 5 + 0,5 7 14 - 0,5 9 54 + …

Calculando o terceiro termo temos 0,5 7 14 ≈ 0,0005 < 0,001 então podemos aproximar o valor da integral com os dois primeiros termos da série que teremos um erro < 0,001 .

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2   d x ≈ 0,5 3 3 - 0,5 5 5

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2   d x ≈ 0,035

Resposta

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2   d x ≈ 0,035

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