Nos exercícios de 1 a 22 , faça um esboço do gráfico da função; então, observando onde há quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre por que a Definição 2.6 . 1 não é satisfeita em cada descontinuidade

1 )   g x = x 2 + x - 6 x + 3 ,     x ≠ - 3 1 ,     x = - 3

Passo 1

A primeira coisa que vamos notar aqui é no numerador da divisão de polinômios dentro dessa função definida por partes. Por ser de segundo grau, vale Bháskara. Bora fazer então:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Como temos x 2 + x - 6 ...

x 1,2 = - 1 ± 1 + 4.6 2 = - 1 ± 1 + 24 2 = - 1 ± 25 2

x 1,2 = - 1 ± 5 2 = - 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

Show de bola, reescrevemos então a função para:

g x = x + 3 x - 2 x + 3 ,     x ≠ - 3 1 ,     x = - 3

Passo 2

Pra gente ver onde a função é descontínua, temos que procurar pontos que “dão ruim”. Olha só, na divisão de polinômios, tem um único ponto que se encaixa:

x + 3 x - 2 x + 3

Esse ponto é o x = - 3 já que ele zera o denominador. Note que apesar do limite...

lim x → - 3 ⁡ x + 3 x - 2 x + 3 = lim x → - 3 ⁡ x - 2 = - 5

...existir, e g - 3 = 1 estar definido, não é uma verdade que:

lim x → - 3 ⁡ x + 3 x - 2 x + 3 = g - 3

Logo a função é descontínua em x = - 3

Passo 3

Pra esboçar a gente pode cortar em cima e em baixo o que está em comum:

g x = x + 3 x - 2 x + 3 ,     x ≠ - 3 1 ,     x = - 3 = x - 2 ,     x ≠ - 3 1 ,     x = - 3

Basta esboçarmos a reta x - 2 , não marcarmos o ponto - 3 , - 5 , mas marcamos o ponto - 3,1 , já que este está definido:

Resposta

Apesar de definido em x = - 3 , não é uma função contínua

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