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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.3 - Ex. 50

Encontre os valores das funções nos Exercicios 47-50.

50. sen 2 ⁡ 3 π 8

Passo 1

Se a gente aplicar as fórmulas de arco metade vamos obter uma função mais fácil de ser calculada.

As fórmulas para o arco metade são:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Substituindo na fórmula:

sen 2 ⁡ 3 π 8 = 1 - cos ⁡ 2 3 π 8 2

sen 2 ⁡ 3 π 8 = 1 - cos ⁡ 3 π 4 2

Passo 2

Como cos ⁡ 3 π 4 não é uma resposta obvia, podemos usar as fórmulas para adição.

Sabendo que

π - π 4 = 3 π 4

e

cos ⁡ A + B = cos ⁡ A cos ⁡ B - sen ⁡ A sen ⁡ B

temos,

cos ⁡ π - π 4 = cos ⁡ π ⋅ cos ⁡ - π 4 - sen ⁡ π ⋅ sen ⁡ - π 4

cos ⁡ π - π 4 = - 1 ⋅ 2 2 - 0 ⋅ - 2 2

cos ⁡ π - π 4 = - 2 2

Portanto

cos ⁡ 3 π 4 = - 2 2

Passo 3

Agora que temos o valor do cos ⁡ 3 π 4 , podemos continuar a conta do Passo 1: sen 2 ⁡ 3 π 8 = 1 - - 2 2 2

sen 2 ⁡ 3 π 8 = 1 + 2 2 2

sen 2 ⁡ 3 π 8 = 2 + 2 2 2

sen 2 ⁡ 3 π 8 = 2 + 2 4

Resposta

sen 2 ⁡ 3 π 8 = 2 + 2 4

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