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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.15 - Ex. 16

Encontre os valores de n para os quais a integral ∫ 0 4 x n d x converge ( n ∈ Z ) .

Passo 1

Como não se sabe o valor e o sinal exato de n , o que pode ser feito é realizar a integração direta para determinar uma expressão geral a partir dessa integral. Mas antes disso, para o caso de n ser negativo, o valor x = 0 não estará definido fazendo com que a integral seja uma integral imprópria.

Dessa forma, cabe resolver a integral aplicando-se um limite com a variável tendendo a esse valor que pode tornar a função indefinida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

l i m a → 0 + ∫ a 4 x n d x

Visto que a integral pode ser resolvida como:

I = ∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Logo,

I = l i m a → 0 + x n + 1 n + 1 | 4 a

I = l i m a → 0 + 4 n + 1 - a n + 1 n + 1

Passo 3

Agora que a integral foi determinada, deve ser feita a análise para os possíveis valores de n .

Assim, a primeira coisa a se observar é que a função encontrada não está definida quando n = - 1 visto que o denominador zera, fazendo com que a integral seja divergente.

Agora restam outros dois valores:

Para n < - 1 , o elemento a n + 1 terá o expoente negativo e, com o limite aplicado, resultará em ∞ . Logo, a integral irá divergir.

Por último, para n ≥ 0 , a integral será:

I = l i m a → 0 + 4 n + 1 - a n + 1 n + 1 = 4 n + 1 n + 1

Que terá um valor determinado e, portanto, a integral irá convergir.

Resposta

A integral converge para n ≥ 0 .

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