Seja R a região à direita de x = 1 que é limitada pelo eixo x e pela curva y = 1 / x . Quando essa região gira em torno do eixo x , ela gera um sólido cuja superfície é conhecida como

corneta de Ga briel (por razões que devem ficar claras na figura abaixo). Mostre que o sólido tem um volume finito, mas que sua superfície tem uma área infinita. [Nota: Foi sugerido que se alguém pudesse saturar o interior do sólido com tinta e permitir que permeasse para a superfície, então poderíamos pintar uma superfície infinita com uma quantidade finita de tinta! O que você acha?]

Passo 1

Para essa análise lembramos da definição 7.8 . 1 que nos revela: Se a integral convergir, então a área é finita e igual ao valor da integral; se divergir, consideramos a área como sendo

infinita.

A integral impropria que descreve a região é:

A = ∫ 1 + ∞ 1 x d x = d i v e r g e

Assim, a área será infinita.

Passo 2

Já o volume é dado pela expressão ∫ a b π f x 2 d x , logo

V = ∫ 1 + ∞ π 1 x 2 d x = 0 - - 1 = 1

Portanto, o volume é finito, pois converge.

Certo??

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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