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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.1 - Ex. 52

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f x = x 2 - 1 3 ,       - 1,2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a função:

f x = x 2 - 1 3

E precisamos encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo - 1,2 .

Para isso vamos, primeiro calcular a derivada de f ( x ) e iguala-la a zero para encontrar os números críticos. Depois a gente vai usar o método do intervalo fechado que é basicamente calcular f ( x ) nesses pontos e nos pontos extremos, x = - 1 e x = 2   .

O maior valor vai ser nosso máximo absoluto e o menor o mínimo absoluto!

Vamos que vamos!

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f x :

f x = x 2 - 1 3

Usando a regra da cadeia:

f u = u 3

u = x 2 - 1

Então:

f ' x = d u d x d y d u

f ' x = 2 x × 3 x 2 - 1 2

f ' x = 2 x × 3 u 2

f ' x = 6 x x 2 - 1 2

Passo 3

Pra achar os números críticos, vamos igualar a derivada a zero:

f ' x = 6 x ⋅ x 2 - 1 2

Igualando a zero:

6 x ⋅ x 2 - 1 2 = 0

Isso nos dá:

x = 0  

  x 2 - 1 2 = 0

Resolvendo o segundo termo:

x 2 - 1 2 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Então os números críticos são, x = 0 , x = 1 e x = - 1 .

Passo 4

Agora, aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f - 1 ,     f 0 ,   f 1 e f ( 2 ) . Então:

f x = x 2 - 1 3

Substituindo e calculando:

f - 1 = - 1 2 - 1 3 = 0

f 0 = 0 - 1 3 = - 1

f 1 = 1 2 - 1 3 = 0

f 2 = 2 2 - 1 3 = 27

Com isso, podemos ver que f 2 = 27 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = - 1 é um ponto de mínimo absoluto!

Resposta

f 2 = 27 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = - 1 é um ponto de mínimo absoluto.

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Se f x = a x 2 + b x + c , use o teste da derivada segunda para mostrar que f tem um valor máximo relativo, se a0 . Ache o número onde ele ocorre.
Suponha que 1 2 2 e - 1 2 3 sejam números críticos de uma função f e que f ' ' x = x 1 2 x 2 + 1 ⟦ ⟧Em cada um desses números determine se f tem um extremo relativo; se tiver, classifique-o.
Dada f x = x 3 + 3 r x + 5 , prove que a ) se r0 , f não tem extremos relativos b ) se r0 , f tem ambos os valores, máximo e mínimo, relativos.
Prove que:Seja c um ponto crítico de uma função f , no qual f ' c = 0 e suponhamos que f ' exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c . Se f ' ' c existe eSe f ' ' c0 , ent
Suponha que f seja uma função para o qual f ' ' x existe para todos os valores de x num intervalo aberto I e que para um número c em I , f ' ' c = 0 e f ' ' ' c existe e não é zero. Prove que o ponto