Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.1 - Ex. 71
Um modelo para o preço médio norte-americano para o açúcar refinado entre, 1993 e 2003, é dado pela função
Onde é medido em anos a partir de agosto de 1993. Estime os instantes nos quais o açúcar esteve mais barato e mais caro entre 1993 e 2003.
Passo 1
Fala aí! Partiu resolver essa questão! O enunciado quer os momentos em que o açúcar esteve mais caro e mais barato… Hummmm… então ele quer os pontos de máximo e mínimo da função! Show!
A função dada é:
Como queremos dentro da faixa de anos entre 1993 e 2003 e é uma quantidade em anos medida a partir de 1993, então queremos o máximo e mínimo dentro do intervalo
Pra isso vamos usar o método do intervalo fechado,
O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado :
1- Encontre os valores de nos extremos do intervalo.
2- Encontre valores críticos de f em [a,b], isso é, os pontos onde dentro desse intervalo.
3- Encontre os valores de nesses pontos críticos.
4- O maior valor das etapas 1 e 3 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Passo 2
Primeiro encontrando os valores críticos, vamos derivar a função e igualar a zero:
Agora igualamos a zero.
Agora precisamos resolver essa equação do quarto grau… Bom, pra isso precisamos usar algum método numérico ou software, né? Não é fácil encontrar as raízes de uma função de quarto grau.
Usando um software, eu encontrei que as raízes são:
Beleza! Mas e agora? Bom, vamos substituir cada valor na nossa função, ok? Vamos nessa!
Passo 3
Vamos primeiro com o :
Agora com o :
Com o :
Agora pra fechar, com o :
Passo 4
Mas ainda não acabou! Precisamos calcular o e o , pois são em anos os extremos no nosso intervalo, vamos lá:
Passo 5
Com os valores do Passo 3 e 4, vamos verificar que o maior deles será o nosso ponto máximo absoluto da função e o menor o ponto mínimo absoluto, ok?
Então, nós podemos dizer que o açúcar esteve mais caro em e esteve mais barato em .
Pra gente descobrir o mês vamos fazer o seguinte, se o é medido em anos, temos:
Para fazer essa conta você pode fazer que são 12 meses e portanto são meses, e aí regra de 3 já resolve.
Mesma coisa para .
Contando a partir de agosto de 1993, nosso mês mais caro será, quatro anos e sete meses depois, em março de 1998, e o mês mais barato será, dez meses depois, em junho de 1994.
Uhul! Conseguimos!
Resposta
Nosso mês mais caro será em março de 1998 e o mês mais barato será em junho de 1994.