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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.1 - Ex. 51

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f x = x 4 - 4 x 2 + 2 ,     [ - 3,2 ]

Passo 1

Oieee galerinha, bora lá

Para encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto da função f x = x 4 - 4 x 2 + 2 ,     no intervalo [ - 3,2 ] seguimos estes passos:

Calculamos a derivada da função f ( x ) para encontrar onde a inclinação da função é horizontal (isto é, onde a derivada é zero ou não está definida).

      f x =   x 4 -   4 x 2 +   2

A derivada de f x , denotada por f ' x , é encontrada aplicando a regra da potência e a regra da constante:

f ' x = d d x x 4 - d d x 4 x 2 + d d x 2

Calculando cada termo:

d d x x 4 = 4 x 3

d d x 4 x 2 = 8 x

Como a derivada da constante é zero, d d x 2 = 0 .

Passo 2

Então, a derivada é:

      f ' x =   4 x 3 -   8 x

Igualamos isso a zero para encontrar os pontos críticos:

      4 x 3 -   8 x   =   0

      4 x x 2 -   2 =   0

Isso nos dá os pontos críticos x = 0   e   ( x = ± 2 )

Passo 3

Avaliamos a função nos extremos do intervalo - 3,2 e nos pontos críticos (   x   =   0   )   e   (   x   =   ± 2 )   .

  f - 3 =   - 3 4 -   4 - 3 2 +   2  

=   81   -   36   +   2  

=   47  

  f 2 =   2 4 -   4 2 2 +   2  

=   16   -   16   +   2  

=   2  

        f 0 =   0 4 -   4 0 2 +   2  

=   2

      f 2 =   2 4 -   4 2 2 +   2  

=   2   -   8   +   2  

=   - 4  

      f - 2 =   - 2 4 -   4 - 2 2 +   2  

=   2   -   8   +   2  

=   - 4  

- Máximo absoluto: f - 3 = 47

- Mínimo absoluto: f 2 = f - 2 = - 4

- O valor máximo absoluto da função (   f x =   x 4 –   4 x 2 +   2   ) no intervalo - 3,2 é   47 , ocorrendo em x   =   - 3 .

- O valor mínimo absoluto é - 4 , ocorrendo em x = ± 2 .

Resposta

f - 3 = 47 é um ponto de máximo absoluto e f ± 2 = - 2 é um ponto de mínimo absoluto

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Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. g