Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 53
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bem, essa questão da pra gente a função
Definida no intervalo de
E pede pra gente encontrar os valores de máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
É o seguinte: um valor máximo absoluto é quando um número é maior que qualquer outro valor de , para qualquer valor de que esteja no intervalo definido.
Da mesma forma, um valor mínimo absoluto é quando é menor que qualquer outro valor de .
Para isso vamos procurar pontos críticos que podem ser pontos de máximos ou mínimos fazendo a derivada da função igual a zero. Assim:
Esse poderá ser um ponto de máximo ou mínimo, pois em picos ou vales da função a reta tangente ao gráfico dela se torna horizontal.
Além disso precisamos analisar também os extremos do intervalo dado.
Belezinha?? Então vamos analisar esses
Passo 2
Primeiro derivamos a função e igualamos a zero.
Como nossa função é formada por uma divisão entre outras duas funções sua derivada pode ser calculada usando a regra do quociente. Assim, fazemos:
E sua derivada será:
Como:
Teremos:
E
Teremos:
E fazendo a substituição, ficamos com:
Resolvendo isso, temos:
Maravilha.
Passo 3
Como estamos procurando os pontos críticos, devemos fazer:
Assim,
Como uma fração não pode ter denominador igual a zero, podemos igualar o numerador a zero, o nosso valor de é:
Repara que só o está dentro do intervalo definido. Então vamos ver o comportamento da função nesse ponto e nos extremos do intervalo.
Passo 4
Lembrando que:
Definida no intervalo de:
Vamos analisar o valor da função nos extremos desse intervalo. Assim:
Para
E para
E usando o ponto crítico que achamos no passo 3, temos:
Para
Comparando esses valores, temos que o valor de máximo absoluto da função é e o mínimo absoluto é . Showw né?
Resposta
Valor máximo absoluto: , valor mínimo absoluto: .