Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

f x = x x 2 + 1                           ;       [ 0,2 ]

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bem, essa questão da pra gente a função

f x = x x 2 + 1  

Definida no intervalo de

[ 0,2 ]

E pede pra gente encontrar os valores de máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

É o seguinte: um valor máximo absoluto é quando um número f ( c ) é maior que qualquer outro valor de f ( x ) , para qualquer valor de x que esteja no intervalo definido.

Da mesma forma, um valor mínimo absoluto é quando f ( c ) é menor que qualquer outro valor de f ( x ) .

Para isso vamos procurar pontos críticos que podem ser pontos de máximos ou mínimos fazendo a derivada da função igual a zero. Assim:

f ' x = 0

Esse poderá ser um ponto de máximo ou mínimo, pois em picos ou vales da função a reta tangente ao gráfico dela se torna horizontal.

Além disso precisamos analisar também os extremos do intervalo dado.

Belezinha?? Então vamos analisar esses

Passo 2

Primeiro derivamos a função e igualamos a zero.

Como nossa função é formada por uma divisão entre outras duas funções sua derivada pode ser calculada usando a regra do quociente. Assim, fazemos:

f x = x x 2 + 1 = u v

E sua derivada será:

u v ' = u ' v - u ' v v 2

Como:

u = x

Teremos:

u ' = 1

E

v = x 2 + 1

Teremos:

v ' = 2 x

E fazendo a substituição, ficamos com:

f ' ( x ) = x x 2 + 1 = 1 ⋅ x 2 + 1 - x ��� ( 2 x ) x 2 + 1 2

Resolvendo isso, temos:

f ' x = 1 - x 2 x 2 + 1 2

Maravilha.

Passo 3

Como estamos procurando os pontos críticos, devemos fazer:

f ' x = 0

Assim,

f ' x = 1 - x 2 x 2 + 1 2 = 0

Como uma fração não pode ter denominador igual a zero, podemos igualar o numerador a zero, o nosso valor de x é:

1 - x 2 = 0

x = ± 1

Repara que só o x = + 1 está dentro do intervalo definido. Então vamos ver o comportamento da função nesse ponto e nos extremos do intervalo.

Passo 4

Lembrando que:

f x = x x 2 + 1  

Definida no intervalo de:

[ 0,2 ]

Vamos analisar o valor da função nos extremos desse intervalo. Assim:

Para x = 0

f 0 = 0 0 2 + 1 = 0  

E para x = 2

f 2 = 2 2 2 + 1 = 2 5

E usando o ponto crítico que achamos no passo 3, temos:

Para x = 1

f 1 = 1 1 2 + 1 = 1 2

Comparando esses valores, temos que o valor de máximo absoluto da função é f 1 = 1 2 e o mínimo absoluto é f 0 = 0 . Showw né?

Resposta

Valor máximo absoluto: f 1 = 1 2 , valor mínimo absoluto: f 0 = 0 .

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