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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 12

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = x 2 ,   y = 4 ,   a o   r e d o r   d e   y = 4

Passo 1

Vamos representar esse solido graficamente. Para isso, teremos uma interseção entre as curvas da seguinte forma:

O intervalo de interseção é de (-2,2). A área é A = π 4 - x 2 2 = π 16 - 8 x 2 + x 4

Podemos calcular o volume!!

Passo 2

V = ∫ - 2 2 A ( x ) d x

Como os intervalos são iguais, pela simetria temos:

V = 2 ∫ 0 2 π 16 - 8 x 2 + x 4 d x

Agora é só calcularmos a integral:

V = 2 π 16 x - 8 x 3 3 + x 5 5 0 2

Aplicando os intervalos, temos

V = 2 π 16 × 2 - 8 × 2 3 3 + 2 5 5 - 16 × 0 - 8 × 0 3 3 + 0 5 5

V = 2 π 32 - 64 3 + 32 5 - 0

V = 2 π [ 256 15 ]

V = 512 π 1 5

Prontinho!!

Resposta

V = 512 π 15

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