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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 27

Encontre as dimensões de um cilindro circular reto com o maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio R .

Passo 1

Quando está inscrito em uma esfera de raio R , a diagonal do cilindro vale seu diâmetro, 2 R .

Vamos denominar de x o raio da base circular do cilindro e y a altura do mesmo.

Com isso, temos a seguinte projeção do triângulo retângulo formado no interior da esfera:

2 R

y

2 x

A partir desse triângulo, estabelecemos a regra de Pitágoras e chegamos na seguinte relação:

( 2 R ) 2 = x 2 + y 2

4 R 2 = x 2 + y 2

Passo 2

Agora escrevemos a expressão pro volume V do cilindro, que é a área da base circular vezes a altura. Temos:

V = π x 2 ∙ y

Bom, queremos maximizar o volume desse cilindro, e pra isso precisamos escrevê-lo em função de apenas uma das variáveis. Vamos escrevê-lo só em função de y .

Pra isso, partimos da epressão que obtivemos de Pitágoras e isolamos x 2 :

x 2 = 4 R 2 - y 2

Agora substituímos o termo x 2 na expressão pro volume e usamos essa expressão, só em função de y :

V ( y ) = π 4 R 2 - y 2 ∙ y

V ( y ) = 4 π R 2 y - π y 3

Passo 3

Pra encontrar o ponto de máximo dessa função, derivamos e igualamos a zero. Lembre que R é uma constante, o raio da esfera. Vamos ter:

V ' y = 4 π R 2 - 3 π y 2

Igualamos a zero:

4 π R 2 - 3 π y 2 = 0

4 π R 2 = 3 π y 2

y 2 = 4 R 2 3

∴ y = + 2 R 3 = 2 R 3 3

Esse é o valor de y pra altura do cilindro. Só precisamos agora do valor de x , o raio do cilindro. Obtemos pela expressão que já temos:

x 2 = 4 R 2 - y 2

x = 2 R - y

x = 2 R - 2 R 3 3

∴ x = 4 R 3 3

Se você reparar, o raio deve valer o dobro da altura. Essas são as dimensões do cilindro de maior volume a ser inscrito em uma esfera de raio R !

Resposta

São as dimensões x = 4 R 3 3 e y = 2 R 3 3

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