Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 25
Um recipiente em forma de paralelepípedo tem dois lados quadrados e é aberto em cima. Se o volume for unidades cúbicas, encontre as dimensões do recipiente com área de superfície mínima.
Passo 1
Vamos assumir que o comprimento dos lados quadrados seja .
Como é um paralelepípedo, os outros lados são retangulares. Vamos assumir que o comprimento desses lados seja .
O enunciado dá a entender que ambos os lados fazem parte do paralelepípedo. Então, um dos lados retangulares não existe, como se o recipiente fosse uma caixa sem tampa.
Passo 2
Escrevemos a expressão pro volume desse recipiente em formato de paralelepípedo:
E agora, a expressão pra área da superfície total do recipiente:
Essa expressão se explica pelo somatório das áreas dos lados quadrados (são 2) de área e dos 3 lados retangulares de área . Lembra que um dos lados retangulares é na verdade um buraco, pro interior do recipiente.
Passo 3
Queremos a mínima área de superfície possível. Pra isso precisamos escrever a área em função de uma só variável e, depois, trabalhar em cima dessa função.
Fazemos o seguinte: escrevemos em função de na exprssão pro volume e substituímos na expressão pra . Temos:
Agora substituímos:
Passo 4
Pra descobrirmos o menor valor pra possível, derivamos a função, igualamos a derivada a zero, e obteremos o(s) ponto(s) crítico(s). Vamos ter:
Igualamos a zero:
Esse é o valor pra que fornece o menor valor possível de somatório de área, pro comprimento do lado quadrado.
Agora só precisamos do valor de , que obtemos pela expressão que já temos:
Resposta
São as dimensões e