Encontre os valores de ∂z/∂x e ∂z/∂y nos pontos nos Exercícios 29-32.

z^3 - xy + yz + y^3 - 2 = 0, (1, 1, 1)

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá!

Suponha que F x ,   y ,   z defina a variável z implicitamente como uma função z = f x ,   y . Então, para todo x ,   y no domínio de f , temos F x ,   y ,   f x ,   y = 0 . Sempre que F z ≠ 0 , para obter as derivadas parciais z = f x ,   y :

Sabendo disso, vamos calcular a derivada em x :

F x = - y

Em y :

F y = - x + z + 3 y 2

F y = 3 y 2 - x + z

E em z :

F z = 3 z 2 + z

Passo 2

Então para ∂ z / ∂ x :

∂ z ∂ x = - - y 3 z 2 + z

E ∂ z / ∂ y :

∂ z ∂ y = - 3 y 2 - x + z 3 z 2 + z

Passo 3

Substituindo o ponto 1 ,   1 ,   1 :

∂ z ∂ x = - - 1 3 ∙ 1 2 + 1 = - - 1 4

∂ z ∂ x = 1 4

E, por fim:

∂ z ∂ y = - 3 ∙ 1 2 - 1 + 1 3 ∙ 1 2 + 1

∂ z ∂ y = - 3 4

Tchau pessoal.

Resposta

∂ z / ∂ x = 1 / 4 , ∂ z / ∂ y = - 3 / 4 .

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