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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 29

Encontre os valores de ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y nos pontos nos Exercícios 29-32.

z 3 - x y + y z + y 3 - 2 = 0 ,             1 ,   1 ,   1

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá!

Suponha que F x ,   y ,   z defina a variável z implicitamente como uma função z = f x ,   y . Então, para todo x ,   y no domínio de f , temos F x ,   y ,   f x ,   y = 0 . Sempre que F z ≠ 0 , para obter as derivadas parciais z = f x ,   y :

Sabendo disso, vamos calcular a derivada em x :

F x = - y

Em y :

F y = - x + z + 3 y 2

F y = 3 y 2 - x + z

E em z :

F z = 3 z 2 + z

Passo 2

Então para ∂ z / ∂ x :

∂ z ∂ x = - - y 3 z 2 + z

E ∂ z / ∂ y :

∂ z ∂ y = - 3 y 2 - x + z 3 z 2 + z

Passo 3

Substituindo o ponto 1 ,   1 ,   1 :

∂ z ∂ x = - - 1 3 ∙ 1 2 + 1 = - - 1 4

∂ z ∂ x = 1 4

E, por fim:

∂ z ∂ y = - 3 ∙ 1 2 - 1 + 1 3 ∙ 1 2 + 1

∂ z ∂ y = - 3 4

Tchau pessoal.

Resposta

∂ z / ∂ x = 1 / 4 , ∂ z / ∂ y = - 3 / 4 .

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Pode-se garantir que a equação x 3 + 2 x y + y 3 = 8 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso positivo, determinar d y d x .
Verificar que a equação dada define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Determinar d y / d x .a) e x y = 4
Determinar as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definidas implicitamente pelo sistema dado:a) x 3 + u 2 + y 2 = 0 x 2 + y 2 + v 2 = 0
Verificar que a equação dada define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Determinar d y / d x .b) x 3 + y 3 + y + 1 = 0
Supondo que as funções diferenciáveis y = f ( x ) e z = z x ,z0 , sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas d y d x e d z d x .b) 2 x 2 - y 2 = z 2 x + y = 2