Verificar que a equação dada define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y(x) . Determinar dy/dx .

a) e^(xy) = 4

Passo 1

Bom, pessoal, vamos analisar as hipóteses do teorema da função implícita. Seja F x , y = e x y - 4 . Vamos encontrar as derivadas parciais dessa função:

∂ F ∂ x = y e x y

∂ F ∂ y = x e x y

Podemos observar que ambas as derivadas são contínuas em R 2 . Logo, podemos garantir que e x y = 4 define implicitamente uma função diferencial!

Passo 2

Agora precisamos descobrir d y d x !

y e x y ⋅ d x d x + x e x y ⋅ d y d x = 0

d y d x x e x y = - y e x y

d y d x = - y e x y x e x y

Resposta

A derivada é igual a:

d y d x = - y e x y x e x y

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