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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 32a

Determinar as derivadas parciais de 1 ª ordem das funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definidas implicitamente pelo sistema dado:

a) x 3 + u 2 + y 2 = 0 x 2 + y 2 + v 2 = 0

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são definidas pelas equações F x , y , u , v = 0 e G x , y , u , v = 0 . Assim,

F x , y , z = 0 G x , y , z = 0

Então, podemos reescrever a nossa equação como:

F x , y , u , v = x 3 + u 2 + y 2 G x , y , u , v = x 2 + y 2 + v 2

Podemos determinar as derivadas parciais de x e y em relação a u e v com o auxílio da regra da cadeia. Mantendo v constante e derivando em relação a u , obtemos:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ u + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ u = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ G ∂ u ⋅ ∂ u ∂ u + ∂ G ∂ v ⋅ ∂ v ∂ u = 0

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u = - ∂ F ∂ u ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u = - ∂ G ∂ u

O sistema de equações lineares para as incógnitas ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u . Assim, nos pontos em que o detemrinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

∂ x ∂ u = - ∂ F ∂ u ∂ F ∂ y ∂ G ∂ u ∂ G ∂ y ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

∂ y d u = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ u ∂ G ∂ x ∂ G ∂ u ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Desse modo, as derivadas parciais de F e G são:

∂ F ∂ x = 3 x 2 ;   ∂ F ∂ y = 2 y

∂ F ∂ u = 2 u ;   ∂ F ∂ v = 0

∂ G ∂ x = 2 x ;   ∂ G ∂ y = 2 y

∂ G ∂ u = 0 ;   ∂ G ∂ v 2 v

Passo 2

Assim, os valores para ∂ x ∂ u   e ∂ y ∂ u são:

∂ x ∂ u = - 2 u 2 y 0 2 y 3 x 2 2 y 2 x 2 y = - 4 u y 6 x 2 y - 4 x y

∂ x ∂ u = - 2 u y 3 x 2 y - 2 x y

∂ y ∂ u = - 3 x 2 2 u 2 x 0 3 x 2 2 y 2 x 2 y = 4 u x 6 x 2 y - 4 x y

∂ y ∂ u = 2 u x 3 x 2 y - 2 x y

Passo 3

Para as derivadas em relação a v , fazemos passos parecidos com os anteriores. Mantendo u constante e derivando em relação a v :

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ v + ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ v = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ G ∂ v ⋅ ∂ v ∂ v + ∂ G ∂ u ⋅ ∂ u ∂ v = 0

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = - ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = - ∂ G ∂ v

O sistema de equações lineares para as incógnitas ∂ x ∂ v e ∂ y ∂ v . Assim, nos pontos em que o determinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

∂ x ∂ v = - ∂ F ∂ v ∂ F ∂ y ∂ G ∂ v ∂ G ∂ y ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

∂ y d v = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ∂ G ∂ v ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Passo 4

Assim, os valores para ∂ x ∂ v   e ∂ y ∂ v são:

∂ x ∂ v = - 0 2 y 2 v 2 y 3 x 2 2 y 2 x 2 y = - 4 v y 6 x 2 y - 4 x y

∂ x ∂ v = - 2 v y 3 x 2 y - 2 x y

∂ y d v = - 3 x 2 0 2 x 2 v 3 x 2 2 y 2 x 2 y = - 6 x 2 y 6 x 2 y - 4 x y

∂ y ∂ v = - 3 x 2 y 3 x 2 y - 2 x y

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ x ∂ u = - 2 u y 3 x 2 y - 2 x y

∂ y ∂ u = 2 u x 3 x 2 y - 2 x y

∂ x ∂ v = - 2 v y 3 x 2 y - 2 x y

∂ y ∂ v = - 3 x 2 y 3 x 2 y - 2 x y

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