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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 43

Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

∑ n = 0 ∞ 4 n x n  

Passo 1

Para uma série geométrica da forma

∑ n = 0 ∞ r n

Temos que elas só convergem para r < 1 .

Pronto, já temos tudo que precisamos pra resolver a questão.

Passo 2

Podemos escrever a nossa série assim,

∑ n = 0 ∞ 4 x n

Sabemos que para uma série geométrica convergir, r < 1 e para este caso r = 4 x , logo

4 x < 1

Podemos tirar o 4 do módulo

4 x < 1

x < 1 4

Passo 3

A soma de uma série geométrica pode ser dada por:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

Então, para esses valores de r a soma vale

∑ n = 0 ∞ 4 n x n = 1 1 - 4 x

Resposta

x < 1 4

∑ n = 0 ∞ 4 n x n = 1 1 - 4 x

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Quando o dinheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarão uma parte, e assim por diante.