Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 3
3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
3.
Passo 1
E aí, meus queridos? Tudo na paz?
Vamos começar entendendo o que é o Teste da integral:
O Teste da Integral, em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Então precisaremos aplicar o limite nessa integral e se esse limite existir, temos a convergência da integral e portanto, a convergência da série. Caso contrário, a integral e, por consequência, a série divergem.
Mas vale lembrar que só podemos aplicar o teste da integral se for uma função contínua, positiva e decrescente em certo intervaloro, de um valor constante até o infinito. Ex: função contínua, positiva e crescente no intervalo
Passo 2
Vamos dedicar esse passo para entender se podemos aplicar o Teste da Integral.
Como: , temos:
Obsevando essa função, vemos que ela não pode assumir o valor de 0, pois teríamos uma divisão por zero. Então podemos dizer que a função é contínua em .
Como só estamos lidando com valores de , nossa função nunca será negativa nesse nosso intervalo onde ela é contínua.
Agora só falta verificarmos se ela é decrescente: vemos que o numerador se mantém constante, mas o denominador cresce cada vez mais, e quanto mais ele cresce mais diminui, pois fica um número pequeno dividido por números cada vez maiores.
Vendo que a função é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Chamando , para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:
Como relembramos no passo 1, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!
Passo 4
Resolvendo a integral primeiro, teremos:
Aplicando os limites de integração e :
Com a integral resolvida, podemos aplicar o limite:
Vemos que conforme , cresce cada vez mais, sem se aproximar de um valor específico.
Sendo assim, a conclusão é de que a a série diverge.