Enunciado

Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 :

ζ x = ∑ n = 1 ��� 1 n 2 = π 2 6

Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.

a) ∑ n = 2 ∞ 1 n 2

Passo 1

Fala Aí, tudo certinho?

Essa questão está pedindo para encontrar a soma da série infinita ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ​, onde cada termo da série é o inverso do quadrado de um número natural começando a partir de n = 2 , beleza?!

Vamos lá! Para resolver essa questão, vamos utilizar o fato de que Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 , que é igual a π 2 6 ​. Se você reparar, a série do enunciado é uma versão deslocada da série de Euler, começando em   n = 2 , então podemos utilizar essa informação para encontrar a soma da série ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 .

Ou seja, nossa estratégia aqui é subtrair o primeiro termo da série de Euler (quando   n = 1 ) da série de Euler completa.

Então vamos pras continhas?!

Passo 2

A série que o enunciado nos dá é praticamente a mesma utilizada por Euler, assim como a própria questão informa. A diferença entre as duas é que uma começa em n = 1 e a outra em n = 2 .

Calculando em n = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Passo 3

Então se queremos saber com n = 2 , basta subtraírmos o valor da série em n = 1 , não é verdade? Sendo assim, teremos:

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 = π 2 6 - 1 1 2

∴ ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 = π 2 - 6 6

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 = π 2 - 6 6

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