Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 34a
Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série com :
Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.
a)
Passo 1
Fala Aí, tudo certinho?
Essa questão está pedindo para encontrar a soma da série infinita , onde cada termo da série é o inverso do quadrado de um número natural começando a partir de , beleza?!
Vamos lá! Para resolver essa questão, vamos utilizar o fato de que Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série , que é igual a . Se você reparar, a série do enunciado é uma versão deslocada da série de Euler, começando em, então podemos utilizar essa informação para encontrar a soma da série .
Ou seja, nossa estratégia aqui é subtrair o primeiro termo da série de Euler (quando) da série de Euler completa.
Então vamos pras continhas?!
Passo 2
A série que o enunciado nos dá é praticamente a mesma utilizada por Euler, assim como a própria questão informa. A diferença entre as duas é que uma começa em e a outra em .
Calculando em , temos:
Passo 3
Então se queremos saber com , basta subtraírmos o valor da série em , não é verdade? Sendo assim, teremos: