Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 34a
Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série com :
Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.
a)
Passo 1
Fala Aí, tudo certinho?
Essa questão está pedindo para encontrar a soma da série infinita , onde cada termo da série é o inverso do quadrado de um número natural começando a partir de , beleza?!
Vamos lá! Para resolver essa questão, vamos utilizar o fato de que Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série:
Se você reparar, a série do enunciado é praticamente a mesma série. Ela é uma versão deslocada da série de Euler. A diferen��a entre as duas é que uma começa em e a outra em . A nossa série aqui é:
Então, nossa estratégia aqui é subtrair o primeiro termo da série de Euler (quando) da série de Euler completa.
Então vamos pras continhas?!
Passo 2
A série estudada por Euler foi essa aqui:
Pra calcular o primeiro termo, fazemos :
E agora vamos separar o primeiro termo:
Eita, apareceu a nossa série do enunciado!
Passo 3
Então agora é só subtrair. Jogando o 1 pro outro lado, temos:
E como a soma da série da esquerda é :
E achamos a soma da nossa série: