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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 26

26. O seguinte teorema é uma generalização do Teorema do valor médio para integrais: se f e g forem contínuas no intervalo fechado [ a , b ] e g x > 0 para todo x no intervalo aberto ( a , b ) , então existirá um número χ em [ a , b ] tal que

∫ a b f x g x d x = f ( χ ) ∫ a b g x d x

Prove esse teorema por um método semelhante ao do Teorema 5.7.1: obtenha a desigualdade m ≤ f x ≤ M e então conclua que m g x ≤ f x g x ≤ M g ( x ) ; aplique o Teorema 5.6.8 e prossiga como na demonstração do Teorema 5.7.1.

Passo 1

Vamos olhar os teoremas envolvidos e fazer conforme a sugestão pra provar o teorema.

Passo 2

Seguindo a sugestão vamos chamar m o valor mínimo para f e M o valor máximo.

f x m ≤ f x ≤ f ( x M )

m ≤ f x ≤ M

Multiplicando tudo por g x

m g x ≤ f x g x ≤ M g ( x )

Certinho?

Passo 3

Do teorema 5.6.9, temos que:

m a - b ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Jogando pro nosso caso, o termo b - a será ∫ a b g x d x (o “tamanho” do intervalo é a própria integral de g ):

m g ( x ) ∫ a b g x d x ≤ ∫ a b f x g x d x ≤ M g ( x ) ∫ a b g x d x

Dividindo todo mundo por ∫ a b g x d x :

m g ( x ) ≤ ∫ a b f x g x d x ∫ a b g x d x ≤ M g ( x )

Passo 4

Dessa desigualdade e do teorema do valor médio, existe χ em [ a , b ] tal que

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( a - b )

No nosso caso:

∫ a b f x g x d x = f ( χ ) ∫ a b g x d x

Prontinho

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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