26. O seguinte teorema é uma generalização do Teorema do valor médio para integrais: se f e g forem contínuas no intervalo fechado [a, b] e g(x) > 0 para todo x no intervalo aberto (a, b) , então existirá um número chi em [a, b] tal que

∫ a b f x g x d x = f ( χ ) ∫ a b g x d x

Prove esse teorema por um método semelhante ao do Teorema 5.7.1: obtenha a desigualdade m ≤ f(x) ≤ M e então conclua que mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x) ; aplique o Teorema 5.6.8 e prossiga como na demonstração do Teorema 5.7.1.

Passo 1

Vamos olhar os teoremas envolvidos e fazer conforme a sugestão pra provar o teorema.

Passo 2

Seguindo a sugestão vamos chamar m o valor mínimo para f e M o valor máximo.

f x m ≤ f x ≤ f ( x M )

m ≤ f x ≤ M

Multiplicando tudo por g x

m g x ≤ f x g x ≤ M g ( x )

Certinho?

Passo 3

Do teorema 5.6.9, temos que:

m a - b ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Jogando pro nosso caso, o termo b - a será ∫ a b g x d x (o “tamanho” do intervalo é a própria integral de g ):

m g ( x ) ∫ a b g x d x ≤ ∫ a b f x g x d x ≤ M g ( x ) ∫ a b g x d x

Dividindo todo mundo por ∫ a b g x d x :

m g ( x ) ≤ ∫ a b f x g x d x ∫ a b g x d x ≤ M g ( x )

Passo 4

Dessa desigualdade e do teorema do valor médio, existe χ em [ a , b ] tal que

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( a - b )

No nosso caso:

∫ a b f x g x d x = f ( χ ) ∫ a b g x d x

Prontinho

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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