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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.8 - Ex. 32

  1. Se f t = t 2 - t , encontre f ' ( t )
  2. Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável comparando os gráficos de f e f ' .

Passo 1

Olá, meu nobre estudante. Pronto para mais uma resolução?

Então, aqui a gente tem uma função:

f t = t 2 - t

E iremos encontrar a sua derivada.

Para isso, vamos utilizar a fórmula:

f ' t =   lim h → 0 ⁡ f t + h - f ( t ) h

Para que a gente consiga ver se estamos certos no nosso cálculo da revidada, iremos comparar o gráfico de f ( t ) e f ' t .

Passo 2

  1. Pela definição, sabemos que

    2. f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f t h

    Onde:

    f t + h = t + h 2 - t + h

    E

    f t = t 2 - t

    Então vamos substituir:

    f ' t = lim h → 0 ⁡ t + h 2 - t + h - t 2 - t h

    Realizando o produto notável:

    f ' t = lim h → 0 ⁡ t 2 + 2 t h + h 2 - t + h 1 2 - t 2 - t 1 2 h

    Simplificando os termos semelhantes:

    f ' t = lim h → 0 ⁡ 2 t h + h 2 - t + h 1 2 - t 1 2 h

    Simplificando os dois primeiros termos por terem h :

    f ' t = lim h → 0 ⁡ 2 t + h - lim h → 0 ⁡ t + h + t h

    Calculando o limite do primeiro termo, e multiplicando o segundo termo pelo conjugado, para que assim a gente consiga simplificar o h :

    f ' t = 2 t + lim h → 0 ⁡ t + h + t h ⋅ t + h - t t + h - t

    Realizando o produto:

    f ' t = 2 t - lim h → 0 ⁡ t + h - t h ⋅ t + h + t

    Simplificando:

    f ' t = 2 t - lim h → 0 ⁡ 1 t + h + t

    Finalmente calculando o limite:

    f ' t = 2 t - 1 2 t  

    Encontramos então nossa derivada.

    Passo 3

  2. Esboçando os gráficos utilizando o GeoGebra:

Quando t está próximo de 0 ,

  f ( t ) = t 2 – t  

também está próximo de 0 ,

então

f ' t = 2 t - 1 2 t  

é muito grande e isso corresponde às retas tangentes íngremes perto de 0,0 . Pois lembre-se que a derivada é a inclinação da reta tangente no ponto dado.

f ' ( t ) parece razoável como a derivada de f ( t )

Resposta

  1. f ' t = 2 t - 1 2 t  

  2. Em comparação com o gráfico a aproximação foi razoável
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52. Mostre que sex y = 1 , então (d ² y)/(d x ²) * (d^2 x)/(d y^2) = 4 . ² ²
Nos exercícios de 46 a 49, ache as fórmulas para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) e estabeleça os domínios de f ' e f ' ' .47.f x = - x 2s ex0 x 2s e0 ≤ x
50. Para a função do Exercício 48, ache f ' ' ' ( x ) quando ela existir.
55. Se y = x n , onde n é qualquer inteiro positivo, prove, por indução matemática, que d n d x n = n !