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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.8 - Ex. 45

Use a definição de derivada para encontrar f ' x e f ' ' x . A seguir, trace f ,   f '   e   f ' ' em uma mesma tela e verifique se suas respostas são razoáveis.

f x = 1 + 4 x - x 2

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos utilizar a definição de derivadas e calcular a primeira e a segunda derivada da função. A pós isso iremos então encontrar os gráficos das derivadas.

Primeiramente, calculamos a primeira derivada, pela definição temos que

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Então

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + 4 x + h - x + h 2 - 1 - 4 x + x 2 h

Realizando os produtos:

= lim h → 0 ⁡ 1 + 4 x + 4 h - x 2 - 2 x h - h 2 - 1 - 4 x + x 2 h

Agora pós simplificação dos termos semelhantes:

= lim h → 0 ⁡ 4 h - 2 x h - h 2 h

Colocando h em evidencia:

= lim h → 0 ⁡ h 4 - 2 x - h h

= lim h → 0 ⁡ 4 - 2 x - h

= 4 - 2 x

f ' x = 4 - 2 x

Agora, podemos calcular a segunda derivada da seguinte maneira

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' x h

Então

f ' ' x = lim h → 0 ⁡ 4 - 2 x + h - 4 + 2 x h

= lim h → 0 ⁡ 4 - 2 x - 2 h - 4 + 2 x h

= lim h → 0 ⁡ - 2 h h

= lim h → 0 ⁡ - 2

= - 2

f ' ' x = - 2

Passo 3

Esboçando os gráficos com ajuda do GeoGebra:

E veja que faz sentido, cada vez que derivamos um polinômio seu grau diminui em 1, então a segunda derivada de um polinômio do segundo grau é uma constante, assim como a primeira é uma reta.

Resposta

f ' x = 4 - 2 x

f ' ' x = - 2

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