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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 51

51. Para a função do Exercício 49, ache f ' ' ' ( x ) quando ela existir.

Passo 1

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Vamos derivar f ' ' x = 21 x 3 x para x ≠ 0 .

f ' ' ' x = 21 x 3 ' ⋅ x - x ' ⋅ 21 x 3 x 2

Passo 3

Para continuarmos o processo de derivação precisamos calcular a derivada de módulo de x. Para calcularmos vamos usar um seguinte truque:

x = x 2

Sabendo isso, basta derivar x 2 que é bem mais intuitivo que a função módulo.

x 2 ' = 1 2 x 2 ⋅ 2 x = x x 2 = x x

Sabendo isso podemos prosseguir com a derivação.

Passo 4

Continuando a derivação:

f ' ' ' x = 21 x 3 ' ⋅ x - x ' ⋅ 21 x 3 x 2

                          = 63 x 2 x - x x ⋅ 21 x 3 x 2

                          = 63 x 2 x - 21 x 4 x x 2

                          = 63 x 2 x 2 - 21 x 4 x 2 ⋅ x

                        = 63 x 2 ⋅ x 2 - 21 x 4 x 2 x = 42 x 4 x 2 x = 42 x 2 x

Resposta

Assim ficamos com:

f ' ' ' x = 42 x 2 x   p a r a   x ≠ 0

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