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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 75

Generalizando a regra do produto A regra da derivada do produto fornece a fórmula

d d x u v = u d v d x + v d u d x

para a derivada do produto u v de duas funções deriváveis de x .

  1. Qual é a fórmula análoga para derivada do produto u v w de três funções deriváveis de x ?
  2. Qual é a fórmula análoga para derivada do produto u 1 u 2 u 3 u 4 de quatro funções deriváveis de x ?
  3. Qual é a fórmula análoga para derivada do produto u 1 u 2 u 3 … u n de um número finito n de funções deriváveis de x ?

Passo 1

Para resolver a letra a.) vamos usar a regra do produto:

d u v w d x ?

d u v w d x = u v ' w + u v w '

d u v w d x = w ( u ' v + u v ' ) + u v w '

d u v w d x = u ' v w + u v ' w + u v w '

Passo 2

Na letra b.):

d u 1 u 2 u 3 u 4 d x ?

d u 1 u 2 u 3 u 4 d x = u 1 u 2 u 3 ' u 4 + u 1 u 2 u 3 u 4 '

d u 1 u 2 u 3 u 4 d x = u 4 u 1 u 2 ' u 3 + u 1 u 2 u 3 ' + u 1 u 2 u 3 u 4 '

d u 1 u 2 u 3 u 4 d x = u 4 ( u 3 ( u 1 ' u 2 + u 1 u 2 ' ) + u 1 u 2 u 3 ' ) + u 1 u 2 u 3 u 4 '

d u 1 u 2 u 3 u 4 d x = u 1 ' u 2 u 3 u 4 + u 1 u 2 ' u 3 u 4 + u 1 u 2 u 3 ' u 4 + u 1 u 2 u 3 u 4 '

Passo 3

Já na letra c.):

d u 1 u 2 … u n d x ?

d u 1 u 2 … u n d x = u 1 ' u 2 … u n + u 1 u 2 … u n '

d u 1 u 2 … u n d x = u 1 ' u 2 … u n + u 1 u 2 ' u 3 … u n + u 1 u 2 u 3 … u n '

d u 1 u 2 … u n d x = u 1 ' u 2 … u n + u 1 u 2 ' u 3 … u n + u 1 u 2 u 3 ' … u n + … + u 1 u 2 … u n '

Resposta

  1. d u v w d x = u ' v w + u v ' w + u v w '
  2. d u 1 u 2 u 3 u 4 d x = u 1 ' u 2 u 3 u 4 + u 1 u 2 ' u 3 u 4 + u 1 u 2 u 3 ' u 4 + u 1 u 2 u 3 u 4 '
  3. d u 1 u 2 … u n d x = u 1 ' u 2 … u n + u 1 u 2 ' u 3 … u n + u 1 u 2 u 3 ' … u n + … + u 1 u 2 … u n '
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Derive.y = c o s s e c theta ( theta + c o t g theta )
Demonstre que (d)/(d x) ( c o s s e c x ) = - c o s s e c x c o t g x .
Derive. f ( x ) = x e xc o s s e cx
Derive:16) y = t ( t - 1 ) ² ²