Encontre os vértices e os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce o seu gráfico.

22. 9*x^2 - (4*y)^2 = 36

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma hipérbole, para encontrarmos seus vértices, focos e assíntotas.

Observe que como não temos nenhum número somando ou subtraindo do   x 2 e do y 2 podemos dizer que a hipérbole é centrada na origem.

A equação geral de uma hipérbole centrada na origem é:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Ou

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

mas veja que na equação dada nós não temos nenhum número embaixo do x e do y , nem 1 do lado direito. Precisamos dar um jeito nisso.

Passo 2

Para deixá-la mais parecida com a equação da hipérbole que estamos acostumados vamos dividir ambos os lados por 36.

9 x 2 36 - 4 y 2 36 = 1

x 2 4 - y 2 9 = 1

Show! Agora podemos usar essa equação para encontrar o que foi pedido.

O foco de uma hipérbole desse tipo é dado por

f = ( ± a 2 + b 2 , 0 )

Como nossa equação

x 2 4 - y 2 9 = 1

temos que

f = ( ± 13 , 0 )

Os vértices de uma hipérbole centradas na origem são:

V = ( ± a , 0 )

Então,

V = ( ± 2,0 )

As assíntotas da hipérbole podem ser encontradas por y = ± a b x . Neste caso temos y = ± 3 2 x .

Viu? Apesar do nome “assíntota da hipérbole” parecer assustador, no fim é uma coisa bem simples, nada de sofrer sem precisar.

Passo 3

Juntando todas essas informações, podemos fazer o esboço da hipérbole:

Resposta

f = ( ± 13 , 0 )

V = ( ± 2,0 )

y = ± 3 2 x

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